Рандомизированные гамильтоновы интегралы Фейнмана и стохастические уравнения Шрeдингера - Ито

Abstract

Рандомизированные гамильтоновы интегралы Фейнмана и стохастические уравнения Шрёдингера-Ито Рассмотрены стохастические уравнения Шрёдингера с двумерным белым шу мом. Такие уравнения используются для описания эволюции открытой кван товой системы, подвергающейся процессу непрерывного измерения. Получены представления решений стохастических уравнений Шрёдингера с помощью об общения классической конструкции интегралов Фейнмана по траекториям в фа зовом пространстве на стохастический случай. Библиография: 36 наименований. Введение В настоящей статье получено представление решений уравнений Шрёдингера с коэффициентами типа белого шума (стохастических уравнений Шрёдингера-Ито) с помощью рандомизированных интегралов Фейнмана по траекториям в фа зовом пространстве (гамильтоновых интегралов Фейнмана). Такие уравнения опи сывают предельное поведение квантовой системы, наблюдаемой в дискретные моменты времени, при условии, что точность измерений и интервалы между ними пропорциональны и стремятся к нулю. Непрерывное наблюдение квантовой сис темы можно (неформально) определить как предел таких наблюдений. Это позво ляет считать, что уравнения Шрёдингера-Ито описывают эволюцию квантовой системы [20], [22], подвергающейся процессу непрерывных измерений; в то же вре мя эти уравнения описывают так называемую марковскую аппроксимацию для эволюции открытой квантовой системы 1 , альтернативную той, которая дается квантовыми стохастическими уравнениями типа Хадсона-Партасарати (см. [12], [4], И). Впервые уравнение, описывающее эволюцию квантовой системы, подвергаемой процессу непрерывных измерений одной и той же наблюдаемой (являющейся опе ратором умножения на координату при подходящей реализации гильбертова про странства состояний в виде L 2 (R 1)), было постулировано в работе [25] для опи сания спонтанной редукции волновой функции. Оно было выведено независимо Так называется квантовая система, являющаяся частью некоторой большей квантовой системы; эволюция открытой квантовой системы описывается не уравнением Шрёдингера, а вытекающим из него (интегро-дифференциальным) управляющим уравнением (master-equ ation) ; так как управляющие уравнения являются интегро-дифференциальными и исследо вать их достаточно сложно, то используются различные приближенные уравнения, уравне ние Шрёдингера-Ито можно считать одним из них. Работа второго и третьего авторов выполнена при поддержке Российского фонда фунда ментальных исследований (грант № 02-01-01074).