Розв’язування Задач Комбінаторної Оптимізації Ігрового Типу На Перестановках З Обмеженнями На Стратегії Одного Гравця

Abstract

Задачі комбінаторної оптимізації на множині перестановок все частіше зустрічаються на практиці та потребують дослідження і розв’язання, тому постає необхідність розробки нових та модифікації вже існуючих методів для їх розв’язування. Мета роботи – запропонувати нові методи розв’язування задач комбінаторної оптимізації ігрового типу на множинах перестановок, побудувати алгоритм розв’язування таких задач. Провести аналіз його складності, зокрема, дати теоретичну оцінку методу. Методологія. Для створення алгоритму розв’язування задач комбінаторної оптимізації ігрового типу на перестановках з обмеженнями на стратегії одного гравця використовувалися методи комбінаторної оптимізації та математичного програмування. Наукова новизна. У рамках дослідження задач комбінаторної оптимізації ігрового типу було вивчено можливість використання монотонного ітераційного алгоритму для розв’язування даного класу задач на множинах перестановок. У роботі проведено опис алгоритму розробленого монотонного ітераційного методу для пошуку ціни гри для розв’язування задач комбінаторної оптимізації ігрового типу на множині перестановок з обмеженнями на стратегії одного гравця. Розглянутий монотонний ітераційний алгоритм включає одинадцять кроків і дозволяє знайти ціну гри, заданої матрицею довільної вимірності та множиною пронумерованих перестановок – стратегіями першого гравця. Проведено оцінку складності запропонованого алгоритму. Для зручності викладення матеріалу введено необхідні позначення та пояснення. При розрахунку складності алгоритму визначено асимптотичну верхню границю з точністю до постійного множника. Знайдено теоретичну оцінку часу роботи монотонного ітераційного методу. Результати дослідження сформульовано у вигляді теореми з послідовно викладеним обґрунтованим доведенням. Представлено ілюстративний приклад з метою застосування розробленого алгоритму. Детально розписано розв’язок завдання відповідно до кроків алгоритму. Проведено порівняння отриманого результату з розв’язками за іншими методами, зокрема, шляхом переходу від ігрової задачі комбінаторної оптимізації ігрового типу на множині перестановок до пари двоїстих задач лінійного програмування для матричної гри з платіжною матрицею та ітераційним методом. Підтверджено коректність отриманих результатів на основі співпадіння відповідей, отриманих трьома різними способами. Висновки. Монотонний ітераційний метод дає змогу швидко отримати значення ціни гри із заданою точністю та оптимальну стратегію першого гравця, причому, як було встановлено, кількість кроків методу слабко залежить від розмірності задачі. Розроблений алгоритм монотонного ітераційного методу дозволив провести порівняння результатів з раніше відомими методами для підтвердження їх коректності.