Теорема О Разложении Пространства $C^1$-Гладких Косых Произведений Со Сложной Динамикой Факторотображения

Makhrova²

2021

Russ. Math. Surv.

The survey is devoted to the topological dynamics of maps defined on one-dimensional continua such as a closed interval, a circle, finite graphs (for instance, finite trees), or dendrites (locally connected continua without subsets homeomorphic to a circle). Connections between the periodic behaviour of trajectories, the existence of a horseshoe and homoclinic trajectories, and the positivity of topological entropy are investigated. Necessary and sufficient conditions for entropy chaos in continuous maps of an interval, a circle, or a finite graph, and sufficient conditions for entropy chaos in continuous maps of dendrites are presented. Reasons for similarities and differences between the properties of maps defined on the continua under consideration are analyzed. Extensions of Sharkovsky’s theorem to certain discontinuous maps of a line or an interval and continuous maps on a plane are considered. Bibliography: 207 titles.

One-dimensional dynamical systems

Makhrova²

2021

Russ. Math. Surv.

Динамика Косых Произведений Отображений Интервала

Efremova²

2017

Uspekhi Mat. Nauk

Работа относится к тому направлению изучения динамических систем класса косых произведений, которое тесно связано с достижениями одномерной динамики. В ней дан обзор основных результатов по динамике косых произведений отображений интервала, полученных в течение последних десятилетий. Статья содержит новые результаты о структуре неблуждающего множества и центра $C^1$-гладких косых произведений отображений интервала, представляющих собой эндоморфизмы со сложной динамикой фактора. Эти результаты применяются к описанию пространства такого рода косых произведений. Библиография: 125 названий.

Одномерные Динамические Системы

Efremova

Makhrova³

2021

Uspekhi Mat. Nauk

Обзор посвящен топологической динамике отображений, заданных на одномерных континуумах, таких как отрезок, окружность, конечные графы (в том числе и конечные деревья), дендриты (локально связные континуумы, не содержащие подмножеств, гомеоморфных окружности). Исследуются взаимосвязи между периодическим поведением траекторий, существованием подковы и гомоклинических траекторий, положительностью топологической энтропии. Приведены необходимые и достаточные условия энтропийного хаоса в непрерывных отображениях отрезка, окружности, конечных графов и достаточные условия энтропийного хаоса в непрерывных отображениях дендритов. Проанализированы причины сходства и различия в свойствах отображений, заданных на указанных континуумах. Рассмотрены обобщения теоремы А. Н. Шарковского на случай некоторых разрывных отображений прямой или отрезка и непрерывных отображений в плоскости. Библиография: 207 названий.