Треугольные Преобразования Мер

Нелинейные Преобразования Выпуклых Мер

“…Нам понадобится следующая модификация этого результата, указан ная в [9]: предположение, что Т локально липшицево, можно заменить включением Т Е W^(R n^ R n ) при условии, что выполняется равенство / о Т ехр(-Ф о Т) det DT = ехр(-Ф) п.в.…”

“…Единственность в классе /х-эквивалентных возрастающих треугольных отображений дока зывается также по индукции. Детали обоснования даны в [9], где ана логичная конструкция рассмотрена для всякой абсолютно непрерывной меры /i (не обязательно эквивалентной мере Лебега); в таком случае ка ноническое треугольное отображение определено на некотором борелевском подмножестве полной /х-меры, так как в одномерном случае область определения Т М)1/ оказывается промежутком, возможно ограниченным с одной или двух сторон (это видно из рассуждений выше). Оценка (6) для канонического отображения доказана в [8], [9].…”

“…[21]). В [8], [9] доказано, что если мера /х эквивалентна мере Лебега на R n и вероят ностные меры Vj сходятся к v по вариации, то T Mj1/j . Т м>1/ по мере /х.…”

“…Отображение Т очевидным образом биективно. Как и в работе [9], применим следующее равенство, вытекающее из формулы Тейлора с учетом того, что DT(x) является треугольной матрицей с 1 на диагонали:…”

“…Утверждение легко проверяется в конеч номерном случае (см. [29], где были наложены несколько более ограничи тельные условия, а также доказательство теоремы 3.1 в [9], где рассмо трена более общая ситуация). Теперь легко выводится случай, когда F принимает значения в конечномерном подпространстве Я 0 С Я. Для этого достаточно взять условные меры на конечномерных подпростран ствах х + Н 0 и заметить, что для них выполнены соответствующие усло вия (см.…”