Формула Площади Для Липшицевых Отображений Пространств Карно - Каратеодори

Two-step sub-Lorentzian structures and graph surfaces

“…Замечание 2.26. Общая идея доказательства основана на идеях работы [36]. Однако поставленная задача требует решения отдельных сложных вопросов для реализации упомянутой схемы.…”

“…Шаг 6. Для исследования точной нижней грани сумм (34) и доказательства того, что она равна H N (Box 2 (v, r))(1+o(1)), где o(1) → 0 при r → 0 равномерно на U, применяются аргументы [36], [20], [34] с учетом результатов третьего и четвертого шагов, из которых следует условие удвоения меры…”

On the class of Hölder surfaces in Carnot–Carathéodory spaces

“…Теорема 3.15 и лемма 3.16 доказываются с очевидными изменениями по схеме, разработанной для вывода формулы площади на нильпотентных градуированных группах и группах Карно (см. подробности в [2, лемма 2.27, теорема 2.28], а также в [22]). А именно, при доказательстве леммы 3.16 первое свойство проверяется непосредственно с помощью определения меры Хаусдорфа, а второе рассмотрением удаленных шаров, их пересечений с образом и построением покрытий, приближающих меру Хаусдорфа с помощью шаров малых радиусов.…”

“…). Прообраз x d 2 -шара x Box 2 ( ϕ(x), r) при отображенииθ ϕ(x) равенBox 2 (0, r) = B dim span{ x Yj :deg x Yj =1} 2 (0, r) × B dim span{ x Yj :deg x Yj =2} 2 (0, r 2 ) × • • • × B dim span{ x Yj :deg x Yj = M } 2 (0, r M ), где B l 2 евклидов шар размерности l.Определение 3.14 (ср [2,5,22]…”

О Локальных Метрических Характеристиках Множеств Уровня $C^1_h$-Отображений Многообразий Карно

“…Кроме того, в классическом смысле такие отображения являются гёльдеровыми с показателем 1/M , так как внутренняя метрика d cc многообразий Карно, согласованная с их субримановой структурой, оценивается сверху римановой метрикой в степени 1/M . Поэтому общий вид формулы площади (включая аналитическое выражение для вычисления якобиана) был установлен для d cc -липшицевых отображений только недавно [5], как и формула площади для построенных по ним отображений-графиков [6], которые не являются даже липшицевыми во внутреннем смысле. Для случая меньшей размерности образа вопрос описания структуры множеств уровня и нахождения каких-либо их метрических характеристик долгое время оставался открытым (за исключением некоторых частных случаев отображений групп Гейзенберга и Карно, в основном, в евклидово пространство; см., например, [7][8][9][10] и др.).…”