Функциональная Центральная Предельная Теорема Для Меры Поверхностей Уровня Гауссовского Случайного Поля

Abstract

Рассматриваются поверхности уровня стационарного изотропного гауссовского случайного поля с гладкими реализациями. Для их мер Хаусдорфа установлена функциональная центральная предельная тео-рема в гильбертовом пространстве, порожденном гауссовской мерой на числовой прямой.Ключевые слова и фразы: функциональная центральная предельная теорема, множество уровня, экскурсионное множество, гауссовское поле, мера Хаусдорфа.Геометрические свойства множеств уровня и экскурсионных множеств гауссов-ских случайных полей уже давно привлекают внимание исследователей. Это связано с их приложениями к моделированию случайных пространственных структур (см., например, [9]). Объем экскурсионного множества достаточно просто представляется в виде интеграла от нелинейного преобразования случайного поля. В то же время за-висимость других функционалов (площадей поверхности, эйлеровых характеристик) от реализаций случайного поля устроена сложнее, так как приходится учитывать их производные. Для процессов на числовой прямой, когда экскурсионные множества одномерны, получено много интересных результатов, начиная с классической фор-мулы Райса для математического ожидания числа пересечений заданного уровня [7, с. 263]. Явные выражения для моментов, в том числе при оптимальных условиях, получали К. Ито, Г. Крамер, Ю. К. Беляев, Д. Джеман, М. Вшебор и др., а различные формы центральной предельной теоремы -Т. Малевич, Дж. Кузик, В. И. Питербарг, Э. Слуд (см. обзор [12] и там же ссылки).Позже появились и результаты, относящиеся к случайным полям на много-мерном множестве индексов (а также на гладких многообразиях). Р. Адлер [6] и М. Вшебор [14] установили варианты формулы Райса для математических ожиданий различных геометрических характеристик экскурсионных множеств. Ее дальнейшие обобщения можно найти в [7, гл. 11-13]. М. Кратц и Х. Леон [13] разработали общий метод доказательства предельных теорем для негладких функционалов от траекто-рий гауссовских полей, основанный на эрмитовых разложениях. В частности, это позволило им доказать асимптотическую нормальность длины кривой уровня гаус-совского случайного поля на R 2 . В работе [11] получена функциональная предельная теорема для интегралов по множеству уровня случайного поля, удовлетворяющего условию типа перемешивания. Отметим недавнюю работу [10], в которой доказана многомерная центральная предельная теорема для объемов экскурсионных множеств, * Institut für Stochastik, Universität Ulm, Helmholtzstr., 18, 89069 Ulm, Germany; e-mail: daniel.meschenmoser@uni-ulm.de * * Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Ленинские горы, 119991 Москва, Россия; e-mail: ashashkin@hotmail.com 1) Работа выполнена в рамках Соглашения о сотрудничестве между МГУ и Уни-верситетом Ульма (грант DFG 436 RUS 113/962/0-1) и поддержана программой «Во-сточное партнерство» фонда DAAD. Второй автор также поддержан грантом РФФИ № 10-01-00397а.

Функциональная Предельная Теорема Для Интегралов По Множествам Уровня Гауссовского Случайного Поля

“…Для мер множества уровня известны явные выражения для второго и старших моментов (с условиями их конечности), различные формы центральной предельной теоремы. В недавних работах [3], [12] получены функциональные предельные теоремы в ситуации, когда рассматриваются одновременно все вещественные значения уровня и берутся хаусдорфовы меры каждого из соответствующих множеств уровня (наблюдаемых в некотором ограниченном окне, размер которого стремится к бесконечности).…”

“…Д о к а з а т е л ь с т в о получается заменой порядка суммирования (соответственно заменой переменной в двойном интеграле) и применением теоремы о мажорируемой сходимости. Сходные рассуждения проведены в [1, теорема 3.1.8] и [3].…”