A theoretical approach to estimate the Minkowski functionals, i.e., area fraction, specifc boundary length and specifc Euler number in 2D, and their asymptotic covariance matrix proposed by Spodarev and Schmidt (2005) and Pantle et al. (2006a;b) is applied to real image data. These two-dimensional images show mammary gland tissue and should be classifed automatically as tumor-free or mammary cancer, respectively. The estimation procedure is illustrated step-by-step and the calculations are described in detail. To reduce dependencies from chosen parameters, a least-squares approach is considered as recommended by Klenk et al. (2006). Emphasis is placed on the detailed description of the estimation procedure and the application of the theory to real image data

No abstract

No abstract

Рассматриваются поверхности уровня стационарного изотропного гауссовского случайного поля с гладкими реализациями. Для их мер Хаусдорфа установлена функциональная центральная предельная тео-рема в гильбертовом пространстве, порожденном гауссовской мерой на числовой прямой.Ключевые слова и фразы: функциональная центральная предельная теорема, множество уровня, экскурсионное множество, гауссовское поле, мера Хаусдорфа.Геометрические свойства множеств уровня и экскурсионных множеств гауссов-ских случайных полей уже давно привлекают внимание исследователей. Это связано с их приложениями к моделированию случайных пространственных структур (см., например, [9]). Объем экскурсионного множества достаточно просто представляется в виде интеграла от нелинейного преобразования случайного поля. В то же время за-висимость других функционалов (площадей поверхности, эйлеровых характеристик) от реализаций случайного поля устроена сложнее, так как приходится учитывать их производные. Для процессов на числовой прямой, когда экскурсионные множества одномерны, получено много интересных результатов, начиная с классической фор-мулы Райса для математического ожидания числа пересечений заданного уровня [7, с. 263]. Явные выражения для моментов, в том числе при оптимальных условиях, получали К. Ито, Г. Крамер, Ю. К. Беляев, Д. Джеман, М. Вшебор и др., а различные формы центральной предельной теоремы -Т. Малевич, Дж. Кузик, В. И. Питербарг, Э. Слуд (см. обзор [12] и там же ссылки).Позже появились и результаты, относящиеся к случайным полям на много-мерном множестве индексов (а также на гладких многообразиях). Р. Адлер [6] и М. Вшебор [14] установили варианты формулы Райса для математических ожиданий различных геометрических характеристик экскурсионных множеств. Ее дальнейшие обобщения можно найти в [7, гл. 11-13]. М. Кратц и Х. Леон [13] разработали общий метод доказательства предельных теорем для негладких функционалов от траекто-рий гауссовских полей, основанный на эрмитовых разложениях. В частности, это позволило им доказать асимптотическую нормальность длины кривой уровня гаус-совского случайного поля на R 2 . В работе [11] получена функциональная предельная теорема для интегралов по множеству уровня случайного поля, удовлетворяющего условию типа перемешивания. Отметим недавнюю работу [10], в которой доказана многомерная центральная предельная теорема для объемов экскурсионных множеств, * Institut für Stochastik, Universität Ulm, Helmholtzstr., 18, 89069 Ulm, Germany; e-mail: daniel.meschenmoser@uni-ulm.de * * Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Ленинские горы, 119991 Москва, Россия; e-mail: ashashkin@hotmail.com 1) Работа выполнена в рамках Соглашения о сотрудничестве между МГУ и Уни-верситетом Ульма (грант DFG 436 RUS 113/962/0-1) и поддержана программой «Во-сточное партнерство» фонда DAAD. Второй автор также поддержан грантом РФФИ № 10-01-00397а.

According to Crofton's formula, the surface area S(A) of a sufficiently regular compact set A in Rd is proportional to the mean of all total projections pA (u) on a linear hyperplane with normal u, uniformly averaged over all unit vectors u. In applications, pA (u) is only measured in k directions and the mean is approximated by a finite weighted sum bS(A) of the total projections in these directions. The choice of the weights depends on the selected quadrature rule. We define an associated zonotope Z (depending only on the projection directions and the quadrature rule), and show that the relative error bS (A)/S (A) is bounded from below by the inradius of Z and from above by the circumradius of Z. Applying a strengthened isoperimetric inequality due to Bonnesen, we show that the rectangular quadrature rule does not give the best possible error bounds for d =2. In addition, we derive asymptotic behavior of the error (with increasing k) in the planar case. The paper concludes with applications to surface area estimation in design-based digital stereology where we show that the weights due to Bonnesen's inequality are better than the usual weights based on the rectangular rule and almost optimal in the sense that the relative error of the surface area estimator is very close to the minimal error.