В работе рассматривается метод численной диагностики разрушения решения в нелинейном уравнении теории волн в полупроводниках. Особенность рассматриваемой задачи заключается в том, что на положительной полупрямой отсутствует даже локальное во времени слабое решение задачи, в то время как на отрезке от 0 до L существует локальное во времени классическое решение. Нашей задачей являлось численно показать, что при L, стремящемся к бесконечности, время существования решения стремится к нулю. Численная диагностика разрушения решения основана на методике вычисления апостериорной асимптотически точной оценки погрешности полученного численного решения по методике Ричардсона.Ключевые слова: численная диагностика мгновенного разрушения решения.

No abstract

We consider the Cauchy problem for a model partial differential equation of third order with non-linearity of the form , where for and . We construct a fundamental solution for the linear part of the equation and use it to obtain analogues of Green’s third formula for elliptic operators, first in a bounded domain and then in unbounded domains. We derive an integral equation for classical solutions of the Cauchy problem. A separate study of this equation yields that it has a unique inextensible-in-time solution in weighted spaces of bounded and continuous functions. We prove that every solution of the integral equation is a local-in-time weak solution of the Cauchy problem provided that . When , we use Pokhozhaev’s non-linear capacity method to show that the Cauchy problem has no local-in-time weak solutions for a large class of initial functions. When , this method enables us to prove that the Cauchy problem has no global-in-time weak solutions for a large class of initial functions.

In this paper, we consider the Cauchy problem for one nonclassical, third-order, partial differential equation with gradient nonlinearity |∇u(x, t)| q . The solution to this problem is understood in a weak sense. We show that for 1 < q ⩽ 3∕2, there are no local-in-time weak solutions of this problem with initial data u 0 (x) from the class U, whereas for q > 3∕2, such a solution exists. For 3∕2 < q ⩽ 2, the Cauchy problem proved not to have global-in-time weak solutions. For 3∕2 < q ⩽ 2, we show finite-time blow-up of unique local-in-time weak solution of the Cauchy problem without dependence from the initial functions from the class U. As a technique, we obtain Schauder-type estimates for potentials. We use them to investigate smoothness of the weak solution to the Cauchy problem for q = 2 and q ⩾ 4.