Методом энергетических неравенств получена априорная оценка решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти. Построен разностный аналог дробной производной дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти (аналог формулы L1). Исследованы основные свойства этого разностного оператора и на его основе построены разностные схемы второго и четвертого порядков аппроксимации по пространственной переменной и дробного порядка $ 2{-}\alpha_0 $ по временной переменной. Доказана устойчивость предложенных разностных схем, а также их сходимость в сеточной $ L_2 $-норме со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Достоверность полученных результатов подтверждают численные расчеты, проведенные для тестовых примеров.

No abstract

A locally one-dimensional difference scheme for a general parabolic equation in a p-dimensional parallelepiped is considered. To describe microphysical processes in convective clouds, non-local (nonlinear) integral sources of a special type are included in the equation under consideration. An a priori estimate for the solution of a locally one-dimensional scheme is obtained and its convergence is proved.

In the current work, we build a difference analog of the Caputo fractional derivative with generalized memory kernel (𝜇L2-1𝜎 formula). The fundamental features of this difference operator are studied, and on its ground, some difference schemes generating approximations of the second order in time for the generalized time-fractional diffusion equation with variable coefficients are worked out. We have proved stability and convergence of the given schemes in the grid L 2 L_{2} -norm with the rate equal to the order of the approximation error. The achieved results are supported by the numerical computations performed for some test problems.

В данной работе рассматривается первая краевая задача для уравнения Аллера дробного по времени порядка с обобщенными функциями памяти. Для численного решения поставленной задачи построены две разностные схемы повышенного порядка аппроксимации. В случае переменных коэффициентов предложена разностная схема второго порядка аппроксимации, как по времени, так и по пространству. А для обобщенного уравнения Аллера с постоянными коэффициентами предложена компактная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной и второго порядка по времени. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки для решений предложенных разностных схем. Доказана их безусловная устойчивость и сходимость. Показано, что скорость сходимости совпадает с порядком погрешности аппроксимации в случае достаточно гладкого решения исходной задачи. На базе предложенных алгоритмов проведены численные расчеты тестовых задач, подтверждающие полученные теоретические результаты. Все вычисления выполнялись с помощью языка программирования Julia v1.5.1.