Let F be a free pro-p group of finite rank n and Cpr a cyclic group of order p r . In this work we classify p-adic representations Cpr −→ GLn(Zp) that can be obtained as a composite of an embedding Cpr −→ Aut(F ) with the natural epimorphism Aut(F ) −→ GLn(Zp).Mathematics Subject Classification (2010). Primary 20E18, 20C11.

Abstract. We prove a pro-p version of the classical decomposition of a Z p -torsion free Z p C p -module into indecomposable modules. We also describe some pro-p Z p C p nmodules obtained from a semidirect product of a free pro-p group F and a cyclic group C p n of automorphisms by factoring out the (closed) commutator subgroup [F, F ].

A finitely generated residually finite group G is an OE-group if any action of its profinite completion G on a profinite tree with finite edge stabilizers admits a global fixed point. In this paper, we study the profinite genus of free products G 1 * H G 2 of OE-groups G 1 , G 2 with finite amalgamation H. Given such G 1 , G 2 , H we give precise formulas for the number of isomorphism classes of G 1 * H G 2 and of its profinite completion. We compute the genus of G 1 * H G 2 and list various situations when the formula for the genus simplifies.

Contagem deárvores geradoras de um grafo completo Counting of spanning trees of a complete graph Resumo Em 1889, Arthur Cayley publicou um artigo com uma fórmula para a contagem deárvores geradoras (spanning) de um grafo completo. Esse teorema diz que: Sejam n ∈ N e Kn o grafo completo com n vértices. Então o número deárvores geradoras de Kné dado por n n−2. O presente trabalho constitui-se de uma breve revisão da literatura sobre os conceitos e resultados básicos da teoria de grafos e uma demonstração detalhada da Fórmula de Cayley, dada pela construção minuciosa de uma bijeção entre o conjunto deárvores geradoras e um conjunto especial de sequências numéricas. Por fim, trazemos um algoritmo, que descreve uma forma precisa para a construção dasárvores geradoras obtidas de Kn a partir de sequências de Cayley-Prüfer.

No abstract