Abstract. In this work we present constructions of algebraic lattices in Euclidean space with optimal center density in dimensions 2, 3, 4, 6, 8 and 12, which are rotated versions of the lattices n , for n = 2, 3, 4, 6, 8 and K 12 . These algebraic lattices are constructed through twisted canonical homomorphism via ideals of a ring of algebraic integers. 18B35, 94A15, 20H10. Mathematical subject classification:

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Regular tessellations of the hyperbolic plane play an important role in the design of signal constellations for digital communication systems. Self-dual tessellations of type [Formula: see text] with [Formula: see text], and [Formula: see text] have been considered where the corresponding arithmetic Fuchsian groups are derived from quaternion orders over quadratic extensions of the rational. The objectives of this work are to establish the maximal orders derived from [Formula: see text] tessellations for which the hyperbolic lattices are complete (the motivation for constructing complete hyperbolic lattices is their application to the design of hyperbolic lattice codes), and to identify the arithmetic Fuchsian group associated with a quaternion algebra and a quaternion order.

Resumo: Utilizando conceitos em geometria hiperbólica,álgebra dos quatérnios e grupos Fuchsianos nosso objetivo neste trabalhoé fornecer um algoritmo passo a passo para se obter grupos Fuchsianos aritméticos a partir de uma tesselação {p, q} regular e um emparelhamento pré-fixado.Palavras-chave: Geometria Hiperbólica, Grupos Fuchsianos,Álgebra dos Quatérnios, Ordem dos Quatérnios, Tesselações do Plano Hiperbólico, Constelações de Sinais IntroduçãoNeste trabalho temos como objetivo considerar tesselações hiperbólicas {p, q} que geram superfícies compactas e orientáveis de gênero g ≥ 2, onde p e q são funções de g. Além disso, estamos interessados em tesselações {p, q} em que seja possível obter um grupo Fuchsiano aritmético Γ p asssociado, pois este grupoé a estrutura algébrica de nosso interesse para construir constelações de sinais no plano hiperbólico.Através do Teorema 3.1 que denominamos condição de Fermat, apresentamos uma condição necessária para obter grupos Fuchsianos aritméticos Γ p associado a uma tesselação hiperbólica {p, q}. Veremos que um grupo Fuchsiano aritmético pode ser identificado através da forma de seus geradores, pois através destes geradores conseguimos identificar aálgebra e a ordem dos quatérnios associado a este grupo Fuchsiano tornando-o dessa forma aritmético. Sendo assim, na Seção 3 iremos apresentar um algoritmo para obter os geradores de um grupo Fuchsiano aritmético. Este algoritmoé de grande importância pois nem sempreé possível ou fácil de se obter grupos Fuchsianos aritméticos. A implementação deste algoritmo foi feita através do software Maple e também pode ser feita utilizando outros tipos de softwares como o Mathematica, por exemplo.Para exemplificar o algoritmo proposto, iremos considerar o emparelhamento diametralmente oposto das arestas do polígono regular hiperbólico P p , neste tipo de emparelhamento toda aresta de P pé emparelhada com a sua diametralmente oposta. Este emparelhamentoé o mais desejado em codificação quântica topológica, por exemplo, pois a distância nestes códigosé calculada através da distância entre as arestas emparelhadas e neste caso em que todas as arestas são emparelhadas com a sua diametralmente oposta, temos que este será o caminho homologicamente não trivial com a maior distância mínima possível. Como consequência, o código resultante apresenta uma capacidade de correção de erros maior dentre todos os códigos oriundos dos demais emparelhamentos, [6].