No abstract

For a given module M the factor modules of M-injective modules are not necessarily M-injective. Necessary and sufficient conditions are derived under which it is the case if M is projective. The result is used to characterize hereditary rings.

No abstract

No abstract

UITTREK SELD it is bekend dat die ondermodule van 'n projektiew e m oduul nie noodwendig p ro je k tie f is nie. In hierdie artikel word 'n soort projektiw iteit ondersoek wat wel behoue bly onder die neem van ondermodule. Hereditere ringe en QF-ringe word m et behulp van hierdie eienskap gekarakteriseer. Alhoewel 'n ondermoduul van 'n plat moduul nie noodwendig plat is nie, word 'n swakker eienskap as platheid, naamlik semiplatheid, wel van 'n moduul na sy ondermodule oorgedra.' Die ondermodule van 'n projektiewe moduul is ook nie noodwendig pro jektief nie. In hierdie artikel word daar, analoog aan die geval by semiplatheid, 'n moduuleienskap onder soek wat swakker is as projektiwiteit, m aar wat wel van module na hulle ondermodule oorgedra word. Hierdie eienskap word gebruik om twee soorte ringe te karakteriseer. A B ST R A C T Semi-projective modulesTensy anders vermeld, is alle module wat beskou word, linker unitale R-module, waar R 'n willekeurige vaste ring met 'n eenheidselement is. Die versameling heelgetalle word aangedui met Z en die rasionale getalle met Q. Alle Afbeeldings wat gebruik word, is R-homomorfiee. Die injektiewe omhulsel van 'n m oduul M word aangedui met E{M). Definisie'n M oduul M is sem iprojektief as elke diagram van module M B O met eksakte ry en C injektief, voltooi kan word om te kommuteer. Voorbeelde(1) Elke projektiewe moduul is semiprojektief.(2) As R = Z4 en M = Zz is rM semiprojektief maar nie projektief nie:met y die hom om orfie gei'nduseer deur 1 1. As a : M -*■ R 'n hom om orfie is, moet a (l) = 0 of a (l) = 2, maar in nie een van die gevalle is die diagram kom m utatief nie. Dus is M nie projek tief nie. Beskou verder 'n willekeurige diagram van R-modulemet eksakte ry en C injektief. Laat a : M R die m onom orfie wees gedefinieer deur a(0) = 0 en a (l) = 2. Daar bestaan 'n hom om orfie p :R~* C s6 dat jia = ^. Ook bestaan 'n hom om orfie d : R -♦ B so dat yd = fi. Nou is = da : M -* B s6 dat yi^ = en dus is M semiprojektief. StellingElke injektiewe semiprojektiewe moduul is projek tief.Bewys Beskou 'n willekeurige injektiewe sem ipro jektiewe moduul M en laat P 'n projektiewe moduul wees met y : P -*• M 'n epimorfie. Daar bestaan 'n hom om orfie : M -*• P so dat yif/= 1^. Dus is M as direkte sommand van P projektief. □ Volgens die gewone metodes kan bewys word dat direkte som m ande van semiprojektiewe m odule sem iprojektief is en dat elke direkte som van semi projektiewe module sem iprojektief is. 'n Hom om orfe beeld van 'n semiprojektiewe moduul nie nood wendig sem iprojektief nie. StellingOndermodule van semiprojektiewe module is semi projektief.Bewys Gestel N is 'n onderm oduul van 'n semi projektiewe moduul M en beskou 'n willekeurige diagram