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Sur des problèmes de régularisation, de recollement et d'interpolation en théorie des martingales

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On 6tend le th6or6me de Girsanov, et sa g6n6ralisation due g Wong et Van Schuppen, au cas off la loi de probabilit6 Q est absolument continue par rapport fi la loi P, mais ne lui est pas n6cessairement 6quivalente.Etant donn6es deux lois de probabilit6 P et Q sur un m~me espace probabilis6 filtr6, le th6or6me d~ Girsanov g6n6ralis6 par Wong et Van Schuppen permet, sous l'hypoth6se d'6quivalence des deux lois, d'exprimer une martingale pour la loi P comme une somme d'une martingale pour la loi Q et d'un processus ~t variation finie. L'extension de ce r6sultat au cas o0 Q est seulement suppos6e absolument Continue par rapport fi Pest un peu d61icate, et fait l'objet de cet article.Je remercie M.P.A. Meyer pour les suggestions qu'il m'a faites apr6s avoir lu une premi6re r6daction de ce travail.Nous utiliserons les notations du cours [1] sur les int6grales stochastiques, dans lequel est trait6 le cas o/1 les deux lois sont 6quivalentes.Soit (f2, ~,, 4, P) un espace de probabilit6 muni d'une filtration v6rifiant les conditions habituelles. Soit Q une loi de probabilit6 sur (f2, Y), absolument continue par rapport fi P, mais non n6cessairement 6quivalente/t P. Le d6faut d'6quivalence entre les deux mesures est situ6 sur l'ensemble {M~ = 0}, qui est Q-n6gligeable, mais non n6cessairement P-n6gligeable. Mais en fait