Abstract. Let K be a unital associative and commutative ring and let K X be the free unital associative K-algebra on a non-empty set X of free generators. Define a left-normed commutator [a1, a2, . . . , an] inductively by [a1, a2] = a1a2 − a2a1, [a1, . . . , an−1, an] = [[a1, . . . , an−1], an] (n ≥ 3). For n ≥ 2, let T (n) be the two-sided ideal in K X generated by all commutators [a1, a2, . . . , an] (ai ∈ K X ).It can be easily seen that the ideal T (2) is generated (as a two-sided ideal in K X ) by the commutators [x1, x2] (xi ∈ X). It is well-known that T (3) is generated by the polynomials [x1, x2, x3] and [x1, x2][x3, x4] + [x1, x3][x2, x4] (xi ∈ X). A similar generating set for T (4) contains 3 types of polynomials in xi ∈ X if 1 3 ∈ K and 5 types if 1 3 / ∈ K. In the present article we exhibit a generating set for T (5) that contains 8 types of polynomials in xi ∈ X. IntroductionLet K be a unital associative and commutative ring and let A be a unital associative K-algebra. Define a left-normed commutator [a 1 , a 2 , . . . , a n ] inductively by [a 1 , a 2 ] = a 1 a 2 −a 2 a 1 , [a 1 , . . . , a n−1 , a n ] = [[a 1 , . . . , a n−1 ], a n ] (n ≥ 3). For n ≥ 2, let T (n) (A) be the two-sided ideal in A generated by all commutators [a 1 , a 2 , . . . , a n ] (a i ∈ A). An algebra A is called Lie nilpotent (of class at most n − 1) if T (n) (A) = 0 for some n ≥ 2.Let K X be the free unital associative K-algebra on a non-empty set X of free generators. Define T (n) = T (n) (K X ). The quotient algebra K X /T (n) can be viewed as the universal Lie nilpotent associative K-algebra of class n − 1 generated by X.The study of Lie nilpotent associative rings and algebras was started by Jennings [18] in 1947. Since then Lie nilpotent associative rings and algebras have been investigated in various papers from various points of view; see, for instance, [2,14,15,16,21,24,25,26] and the bibliography there.Recent interest in Lie nilpotent associative algebras was motivated by the study of the quotients L i /L i+1 of the lower central series of the associated Lie algebra of an associative algebra A; here L n is the linear span in A of the set of all commutators [a 1 , a 2 , . . . , a n ] (a i ∈ A). The study of these quotients L i /L i+1 was initiated in 2007 in a pioneering article of Feigin and Shoikhet [12] for A = C X ; further results on this subject can be found, for example, in [1,3,4,5,6,7,9,10,11,19,20]. Since T (n) (A) is the ideal in A generated by L n , some results about the quotients T (i) (A)/T (i+1) (A) were obtained in these articles as well; in [7,11,19,20] the latter quotients were the primary objects of study.It can be easily seen that the ideal T (2) is generated (as a two-sided ideal in K X ) by the commutators [x 1 , x 2 ] (x i ∈ X). It is well-known that T (3) is generated by the polynomials (see, for instance, [6,13,17,23]). If 1 3 ∈ K then a similar generating set for T (4) contains the polynomials of 3 types (see [11,14,24,26]): (see [8, Theorem 1.3]). In the latter case, in general, the poly...

Este trabalho propõe uma abordagem de ensino de tópicos de estatística no ensino médio técnico, tendo como referência os procedimentos adotados pela modelagem matemática e inseridos num ambiente investigativo, contextualizado e interdisciplinar com contribuições para o ensino de estatística, sendo considerada uma ferramenta metodológica na orientação e direcionamento do ensino, por meio das etapas de interação do conteúdo abordado, matematização da situação e avaliação dos resultados. Tem-se como proposta uma aplicação na criação de frangos caipiras, que conduziu à análise de dois modelos de regressão para representar a relação entre as variáveis envolvidas, sendo estes: modelo linear e modelo quadrático. A avaliação dos modelos permitiu a escolha da regressão mais adequada, optando pelo modelo quadrático por apresentar maior coeficiente de explicação (R-quadrado). A culminância do trabalho reflete na utilização da “tríplice”: planejamento de ações, inserção dos conteúdos à realidade dos discentes e na associação estabelecida entre as diversas disciplinas, como tendência na promoção de um efetivo aprendizado.

Seja 𝑛 um número inteiro não negativo. Neste trabalho consideramos a usual sequência de Pell, a qual denotamos por P𝑛 e o elemento de posição 𝑛 ≥ 0 desta sequência por 𝑃𝑛. Bicknell (1975) afirma que a sequência de Pell possui propriedades aritméticas semelhantes as propriedades da sequência de Fibonacci ou Lucas (que não serão tratadas aqui), no entanto é pouco conhecida ou difundida, sendo restrita a pesquisadores, estudiosos ou diletantes em Teoria dos Números. Com a curiosidade atiçada pela afirmação de Bicknell, estudamos (revisão bibliográfica) algumas propriedades desta sequência numérica. Por exemplo, Santana e Díaz-Barrero (2006) apresentam um estudo sobre algumas somas parciais de termos 𝑃𝑛, isso nos instigou a fazermos algumas observações e conjecturar alguns resultados, e assim obtemos alguns resultados. Em especial Santana e Díaz-Barrero (2006) mostram que, a soma dos primeiros 4𝑛 + 1 elementos de P𝑛 é um quadrado perfeito. Nossa principal contribuição é uma caracterização do divisor ímpar de 𝑃𝑛, sendo 𝑛 ímpar e 𝑃𝑛 composto.

No abstract

Seja $x_n$ um número com $ n $ algarismos. Para $ n \geq 2 $, o número de $ n $ algarismos obtido pela inversão da posição dos algarismos de $ x_n $ é chamado de número reverso de $ x_n $ e é indicado por $ x_n'$. Admita que $ x_n > x_n '$ e escreva o número mágico de Ball $ B = (x_n - x_n') + (x_n - x_n ')' $. Em Webster\cite{webs}, e de forma independente em Costa e Mesquita \cite{costa2}, mostra-se que todo número de Ball $B$ é múltiplo de 99. Para cada $k\geq 0$ inteiro, considere $ x_{2k} $ (ou $ x_ {2k + 1} $) um número qualquer e $ B (k) $ a quantidade de possíveis números mágicos de Ball, ou seja, correspondentes às quantidades de algarismos $ 2, 4, 6, \ldots, 2k, \ldots $ (ou $ 3, 5, 7, \ldots, 2k + 1, \ldots $) temos a associado a sequência $ 1, 4, 12, \ldots, B (k), \ldots $ que representa a quantidade de números da Ball. Webster considera o caso particular em que o primeiro algarismo do número $ x_{n} $ é sempre maior que o último algarismo e obtém que $B(k)$ é um termo da sequência de Fibonacci. Enquanto que em Costa e Mesquita mostra-se que para todo inteiro $k \ge 2$ a quantidade $B(k)$ está entre $B(k-1)$ e $3^{k-1} + B(k-1)$. Aqui vamos melhorar o resultado de Webster e mostrar que a quantidade $ B(k) $ é a soma de dois termos da sequencia de Fibonacci.