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We consider the Radon transform on the (flat) torus T n = R n /Z n defined by integrating a function over all closed geodesics. We prove an inversion formula for this transform and we give a characterization of the image of the space of smooth functions on T n .Mathematics Subject Classification (2010). Primary 53C65, 44A12.

Solution élémentaire d'un opérateur différentiel linéaire invariant à gauche sur un groupe de Lie réel compact et sur un espace homogène réductif compact Annales scientifiques de l'É.N.S. 4 e série, tome 2, n o 4 (1969), p. 561-581 © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1969, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

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Abstract. The squared distance curvature is a kind of two-point curvature the sign of which turned out crucial for the smoothness of optimal transportation maps on Riemannian manifolds. Positivity properties of that new curvature have been established recently for all the simply connected compact rank one symmetric spaces, except the Cayley plane. Direct proofs were given for the sphere, an indirect one (via the Hopf fibrations) for the complex and quaternionic projective spaces. Here, we present a direct proof of a property implying all the preceding ones, valid on every positively curved Riemannian locally symmetric space.