L'accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 519-Cyclotomic quadratic forms par FRANÇOIS SIGRIST RÉSUMÉ. L'algorithme de Voronoï est un procédé permettant d'obtenir la liste complète des formes quadratiques positives parfaites à n variables. Sa généralisation aux G-formes permet de classer les formes G-parfaites, avec l'avantage de se dérouler dans un espace de dimension plus petite (G est un sous-groupe fini de GL (n, Z)). On étudie ici la représentation standard du groupe cyclique G = Cm en dimension ~(m), de polynôme caractéristique 03A6m (x) (polynôme cyclotomique). Une forme G-invariante est dite forme cyclotomique. Toute les formes G-parfaites sont données pour ~(m) 16, de même que pour m = 17, où la forme cyclotomique la plus dense est entièrement nouvelle. On obtient ainsi une constante d'Hermite cyclotomique, qui s'avère être souvent meilleure que la constante d'Hermite habituelle. C'est le cas pour m = 5,7,11,13,16,17,36, et vraisemblablement 32 (les calculs pour m = 32 sont en cours, et ont déjà fourni 4600 formes C32parfaites). Les résultats complets sont disponibles à http://www.unine.ch/math. ABSTRACT. Voronoï 's algorithm is a method for obtaining the complete list of perfect n-dimensional quadratic forms. Its generalization to G-forms has the advantage of running in a lowerdimensional space, and furnishes a finite, and complete, classification of G-perfect forms (G is a finite subgroup of GL (n, Z)). We study the standard, ~(m)-dimensioiaal irreducible representation of the cyclic group Cm of order m, and give the, often new, densest G-forms. Perfect cyclotomic forms are completely classified for (m) 16 and for m = 17. As a consequence, we obtain precise upper bounds for the Hermite invariant of cyclotomic forms in this range. These bounds are often better than the known or conjectural values of the Hermite constant for the corresponding dimensions ; this is indeed the case for m = 5,7,11,13,16,17,36. The complete results can be taken from http : //www. unine. ch/math.
