With the ultimate goal of designing a scalable parallel preconditioner for reservoir simulation problems, we combine domain decomposition ideas (prove suitable for parallelization) with incomplete factorizations (which are standard in reservoir simulation) at subdomain level. We introduce an ILU(k)-based two-level domain decomposition preconditioner and compare its performance with a two-level ILU(k)-Block-Jacobi preconditioner.

We discuss the parallel implementation of a two-level algebraic ILU(k)-based domain decomposition preconditioner using the PETSc library. We present strategies to improve performance and minimize communication among processes during setup and application phases. We compare our implementation with an off-the-shelf preconditioner in PETSc for solving linear systems arising in reservoir simulation problems, and show that for some cases our implementation performs better.The multilevel preconditioner has been an active research area for the last 30 years. One of the main representatives of this class is the algebraic multigrid (AMG) method [19,22,30,31], when used as a preconditioner rather than as a solver. It is widely used in oil reservoir simulation as part of the CPR (constrained pressure residual) preconditioner [6,33]. Despite its general acceptance there is room for new alternatives, as there are problems where AMG can perform poorly, see, for instance [13]. Among these alternatives we find the two-level preconditioners. There are many variations within this family of preconditioners, but basically we can discern at least two subfamilies: algebraic [1,4,12,14,18,20,23,28,32] and operator dependent [15,16,17]. Within the operator dependent preconditioners we should highlight the spectral methods [21,25].Notice that {Γ J } 1≤J≤P form a disjoint partition of Γ. See Figure 2.Finally, we define extended subdomains Ω J and extended local interfaces Γ J , which incorporate the portions of the interface connected to the subdomain interior Ω Int J . We define Ω J as(a jk = 0 or a k j = 0) .(2.6)

A comparison between sparse approximate inverse preconditioner is given. A simplified description of the considered preconditioners is presented, and the results of numerical experiments with academic examples are discussed.

Resumo. Apresentamos uma implementação paralela eficiente em memória compartilhada de alguns núcleos computacionais do solver Orthomin. Os núcleos apresentados são o produto matriz vetor e o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. As implementações foram feitas em C++ utilizando diretivas OpenMP para a paralelização. Além disso, as implementações foram feitas visando as arquiteturas Intel Xeon e os aceleradores Intel Xeon Phi.Palavras-chave. Produto Matriz-Vetor, Gram-Schmidt, Paralelismo de Grão Fino, Memória Compartilhada, Computação de Alto Desempenho. IntroduçãoDiscutimos a implementação de dois importantes núcleos deÁlgebra Linear computacional do solver linear Orthomin [5]: o produto Matriz-Vetor e do método de Gram-Schmidt. O Orthominé um solver linear baseado em subespaços de Krylov amplamente utilizado na indústria do petróleo e por issoé de extrema importância que sua construção seja eficiente. Além da sua aplicabilidade no Orthomin o produto Matriz-Vetor e o método de Gram-Schmidt são núcleos computacionais com várias aplicações e no atual cenário massivamente paraleloé crucial ter uma boa implementação de ambos em paralelo. As implementações foram feitas C++ com paralelismo de memória compartilhada utilizando OpenMP [1], focando sua implementação nas arquiteturas Intel Xeon e Xeon Phi. O desenvolvimento deste trabalho pode ser descrito a seguir, na seção 2 discutiremos o produto Matriz-Vetor. A seção 3 discutirá a implementação do método de Gram-Schmidt. Resultados dos experimentos numéricos podem ser vistos na seção 4. Por fim, as conclusões se encontram na seção 5. O Produto Matriz-VetorO produto Matriz Vetor [3]é uma operação y = Ax, onde Aé uma matriz esparsa e x e um vetor denso. A multiplicação matriz vetoré um importante núcleo emálgebra linear 1