In this paper we propose the concept offuzzy projectionson subspaces of , obtained from Zadeh's extension of canonical projections in , and we study some of the main properties of such projections. Furthermore, we will review some properties of fuzzy projection solution of fuzzy differential equations. As we will see, the concept of fuzzy projection can be interesting for the graphical representation of fuzzy solutions.

p-Fuzzy dynamical systems are variational systems whose dynamic is obtained by means of a Mamdani type fuzzy rule-based system. In this paper, we will show the 1-dimensional p-fuzzy dynamical systems and will present theorems that establish conditions of existence and uniqueness of stationary points. Besides the obtained analytical results, we will present examples that illustrate and confirm the obtained mathematical results.

Ao meu orientador e amigo Rodney Carlos Bassanezi, que, além da orientação segura deste trabalho, contribuiu expressivamente para minha formação como pesquisador e principalmente como ser humano.A minha esposa, Claudilene da Cruz Silva, que soube compreender as ausências e apoiar a todo momento.Ao meu filho que, mesmo sem saber, é o meu maior incentivador. Aos meus pais pela formação moral que me deram, pelo incentivo constante e pela confiança depositada.Aos grandes amigos do IMECC, aos quais prefiro não citar para não cometer injustiça. Aos meus grandes amigos fora do meio acadêmico, principalmente a Napoleão Campos Sobrinho e família pelo incentivo e confiança.Aos professores do IMECC/UNICAMP, que contribuíram significativamente para minha formação como matemático aplicado.Agradeço a CAPES e a UFMA pelo apoio financeiro, sem o qual este trabalho seria impossível.Agradeço aos funcionários da secretaria de pós-graduação pela eficiência que sempre demonstraram.Para finalizar quero agradecer a todas as pessoas que contribuíram para a realização desta tese de doutorado.A todos, muito obrigado! iii ResumoUm sistema dinâmico p-fuzzy é um sistema cuja dinâmica é obtida através de um sistema baseado em regras fuzzy. Neste trabalho, realizamos um estudo analítico da estabilidade dos sistemas dinâmicos p-fuzzy. Estabelecemos condições necessárias e suficientes para existência de ponto de equilíbrio para sistemas p-fuzzy unidimensionais e bidimensionais e derivamos condições para estabilidade deste ponto. Vimos que, uma condição suficiente para existência de ponto de equilíbrio é uma mudança de sinal na saída do controlador.Este trabalho mostra ainda, que a estabilidade de um ponto de equilíbrio depende, principalmente, das variáveis de entradas e saídas do sistema baseado em regras fuzzy associado ao sistema p-fuzzy.Além dos diversos resultados matemáticos encontrados, com demonstrações rigorosas, realizamos inúmeros experimentos computacionais e obtivemos resultados que atestam a veracidade de da teoria aqui proposta.Apresentamos ainda, algumas aplicações em Biomatemática onde podemos comprovar, em situações concretas, a eficácia, versatilidade e robustez da teoria desenvolvida.

Resumo. Nesse trabalho propomos uma sequência didática para o ensino da tabuada de multiplicação, usando como metodologia de ensino a resolução de problemas em consonância com a Base Nacional Comum Curricular -BNCC. Abordando de forma consistente conteúdos matemáticos tais como paridade, divisores, múltiplos, propriedades das operações do conjunto dos números naturais, números primos, números compostos e reconhecimento de padrões.Palavras-chave. Tabuada. Ensino de matemática. Multiplicação. Novas metodologias. Sequência Didática. IntroduçãoAo visitarmos uma escola da Educação Básica, turma do sexto ano, pudemos constatar as diculdades dos alunos com a tabuada. Relembramos a época em que também tinhamos diculdades com a tabuada e a metodologia utilizada no processo de ensino aprendizagem, certamente muito diferente da que é usada hoje, pensamos. Surpresa nossa, quando uma aluna trouxe a tabuada que usava para "decorar", pois constatamos que foi a mesma que usamos décadas passadas,(Figura 1).Pelo visto, assim como nós, os problemas com a tabuada apenas envelheceram.Reetindo sobre a formação dos futuros professores de matemática nos nossos cursos de licenciatura, e sobre as questões envolvidas na aprendizagem da matemática, relembramos um dos expoentes da escola construtivista, Jean Piaget, muito pertinente nesse contexto de educação para crianças, O professor não ensina, mas arranja modos de a própria criança descobrir. Cria situações-problema."Vamos abordar nesse artigo uma sequência didática para ensino da tabuada de multiplicação, na qual apresentamos a visão algébrica, abstrata, mas também propomos uma ocina baseada numa metodologia construtivista, orientada a partir de propriedades matemáticas como a paridade, reconhecimento de padrões, estudo de números primos, compostos, divisores, quadrados perfeitos etc. Organizamos o artigo em três partes: a primeira relembramos a parte algébrica, abstrata, da tabuada composta pelas Seções 2 e 3, a segunda parte, Seção 4, apresentamos uma sequência didática para ensinar tabuada, que pode ser usada a partir dos anos iniciais do Ensino Fundamental. E por m, as Considerações Finais.

No abstract