Este texto tiene como objetivo presentar comprensiones sobre el rigor y la verdad en la investigación desarrollada en una perspectiva fenomenológica. En este sentido, discutimos este enfoque en investigaciones ubicadas en el ámbito de la Educación Matemática. Para ello, describimos tres investigaciones: una situada en el ámbito de las producciones históricas; otra realizada en la interconexión de espacios de formación, en la que la enseñanza de las matemáticas se desarrolla en los espacios de las aulas hospitalarias; y, aún, una tercera, que se remonta a comprender el entrelazamiento entre afectividad y aprendizaje matemático a partir de lo que se revela en el mundo de la vida. Los contextos de investigación presentados no agotan el tema, pero constituyen un punto de partida para pensar el tratado.

O texto tem por objetivo expor compreensões sobre o que vem a ser uma demonstração matemática, em sua historicidade. Como procedimentos metodológicos nos pautamos nas orientações expostas em trabalhos de Edmund Husserl (1859-1938). Trata-se de uma pesquisa de caráter qualitativo, desenvolvida segundo a abordagem fenomenológica. As discussões sobre as demonstrações ou verdades matemáticas são iniciadas com o modelo dedutivo, proposto por Euclides, em Os Elementos e, são retomadas ao longo do tempo, por diferentes filosofias da matemática, que intencionavam estabelece uma linguagem formal e livrar a matemática de suas contradições. O que definimos por matemática formal na atualidade é fruto deste processo.

O seguinte artigo tem por objetivo apresentar um estudo sobre o tratamento formal para alguns conceitos referentes aos números racionais, discutidos a partir de demonstrações. Nosso interesse pelo assunto pauta-se em nossa experiência vivida, enquanto professores e pesquisadores da área de Educação Matemática. Assumimos para este trabalho uma postura fenomenológica. Isso significa que nossas considerações não são generalidades, mas sim, interpretações e compreensões do que nos propomos a pesquisar. Justificamos a escrita do texto pela complexidade envolvendo a temática, visto que não há consenso entre educadores sobre quando iniciar, no contexto da sala de aula, o trabalho com a matemática formal. E, ao mesmo tempo, a escolha do tema justifica-se também por sua importância, visto que são as demonstrações matemáticas que fundamentam as teorias desta Ciência, garantindo sua validade ou não. Partimos pelos caminhos da História da Matemática, que nos mostra que, em princípio, as verdades da matemática eram constituídas de modo intuitivo, depois foram entrelaçadas pela Lógica Matemática e, na atualidade, são definidas por suas características lógico-epistemológicas, retóricas e heurísticas. Nesse contexto, destaca-se para nós os números racionais, pela riqueza matemática envolvida na constituição desse conjunto numérico e por sua presença na Educação Básica. Assim, nos debruçamos sobre o tratamento formal deste conjunto numérico e, enquanto educadores, não perdemos de vista o contexto educacional. Anunciamos que nossa intenção não é arbitrar sobre a formalização da matemática em seu ensino na Educação Básica, mas sim, expor um estudo teórico sobre algumas ideias matemáticas envolvendo os números racionais que sintetizam nossas compreensões.

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