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Einleitung1st eine lokalkompakte abelsche Gruppe G iiicht kompakt, so existiert keine Gleichverteilung auf G. Es gibt aber Verteilungsgesetze, die sich naherungsweise wie Gleichverteilungen auf G verhalten, z. B. die Gleichverteilungen auf langen Intervalleii [n, n] fur die additive Gruppe R der reellen Zahlen. Die Eigeiischaft der , ,angenaherten Gleichverteilung" voii v auf G 15Bt sich dadurch erfassen, daIj iiicht zu groIje Verschiebungen das Verteilungsgesetz v iiur meiiig veriindern, d. h., da13 gleichmal3ig fur alle LZ' aus einer kompakten Umgebuiig B voii o eiiie Ungleichung Var (v -8, * v) < E erfiillt ist. Dementsprechend neiinen wir eine Folge (vJ von Verteilungsgesetzeii asymptotisch gleichverteilt, wenn fur alle kompakten B die Konvergen z sup Var (v, -6, * V J % -0 ZEB stattfiiidet. Allgemeine Ausfuhrungen iiber dieseii Begriff gibt Abschnitt 1. Im Fall G = R wurde von H. HERRMANN in [7] nachgewiesen, dal3 die Folge der Faltungspotenzeii eiiies T'erteilungsgesetzes v genau dann asymptotisch gleichverteilt ist, weiiii mindestens ein v" nicht rein singular ist. I n Abschnitt 3 wird die bereits in [ 101 angefiihrte Verallgemeinerung dieses Satzes fiir beliebige G bewiesen. Sie enthalt die fur G = R von selbst erfiillte zusatzliche Bediiiguiig, daR v nichtgitterformig ist. Die Gleichverteilurigseigenschafteii voii Faltungspotenzen beliebiger Verteilungsgesetze lasseii sich erst erfassen, wenn zuvor der Begriff der asymptotischen Gleichverteilung in geeigneter Weise abgeschwacht murde. Fur G = R wurde von DOBRUSCHIN in [4] eine entsprechende Definition eiiigefuhrt, beziiglich der z. B. die Folge der

Eingegangen am 20. 1. 195'7)0. Die vollstandig regularen topologischen Raume sind als diejenigen bopologischen Raume charakterisiert, deren Topologie durch die Algcbra jer stetigen reellen Funktionen auf ihnen bestimmt ist, d. h. als diejenigen Raume, deren Topologie die grobste ist, bei der alle auf dem Raum stetigen reellen Funktionen noch stetig bleiben, oder rnit wieder anderen Worten, 31s diejenigen Raume, fur die die totaloffenen Mengen (die Urbilder offener Mengen der Zahlengeraden bei stetigen reellen Funktionen) eine Subbasis bilden.In Anlehnung a n die Charakterisierung der normalen Raume durch die Gultigkeit des URYSOHNschen Lemmas definiert man die vollstandig regularen Raume gern auch durch die Gultigkeit des TYcHoNoFFschen Axioms:Zu jedem Punkt x und jeder x enthaltenden offenen Menge U existiert eine stetige reelle Funktion f rnit 0 2 f 2 1, die auf x eins wird und aul3er-halb U verschwindet.Die vollstandig regularen topologischen Raume rnit To-Axiom (jeder vollstandig regulare Raum gehb durch Identifizierung der Punkte rnit gleichem Umgebungssystem in einen vollstandig regularen Raum rnit ToAxiom iiber) sind identisch mit denjenigen topologischen Raumen, die sich homoomorph in ein direktes Produkt geeigneter Machtigkeit von Intervallen [0, 13 der Zahlengeraden einbetten lassen.Neben diesen funktionalanalytischen Kennzeichnungen der vollstandig regularen Raume treten noch eine Reihe gleichwichtiger mengentheoretischer Charakterisierungen. Erstens sind die vollstandig regularen Raume gerade diejenigen topologischen Raume, die eine regulare bikompakte Erweiterung haben, und zweitens kann man die vollstandig regularen Raume als diejenigen bestimmen, deren Topologie sich aus einer uniformen Struktur oder a m einer Beruhrungsstruktur konstruieren lafit.Die angefuhrten Definitionen fur die vollstandig regularen Raume stehen in einem innigen Zusammenhang miteinander. Es entsprechen fur sich einander umkehrbar eindeutig Beruhrungsstrukturen, prakompakte uniforme Struk turen, in der gleichmal3igen Konvergenz abgeschlossene Algebren von

SCHIN (vgl. [ 2 ] , [I21 [I 51) mit wachsendem TL schwachgegen eine Mischung P stationarer PoIssoNscher Verteilungsgesetze P, , wenn L stationar sowie Iin Fall G = Rs strebt 11 1) In [I31 untersucht Sztlsz einen wesentlich allgemeineren Zufallsmechanisnius. Seine Resultate beriihren sich jedoch kaum mit den hier abgeleiteten Ergebnissen.

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