Gleichverteilungseigenschaften von Faltungen von Verteilungsgesetzen auf lokalkompakten abelschen Gruppen. I

Abstract

Einleitung1st eine lokalkompakte abelsche Gruppe G iiicht kompakt, so existiert keine Gleichverteilung auf G. Es gibt aber Verteilungsgesetze, die sich naherungsweise wie Gleichverteilungen auf G verhalten, z. B. die Gleichverteilungen auf langen Intervalleii [n, n] fur die additive Gruppe R der reellen Zahlen. Die Eigeiischaft der , ,angenaherten Gleichverteilung" voii v auf G 15Bt sich dadurch erfassen, daIj iiicht zu groIje Verschiebungen das Verteilungsgesetz v iiur meiiig veriindern, d. h., da13 gleichmal3ig fur alle LZ' aus einer kompakten Umgebuiig B voii o eiiie Ungleichung Var (v -8, * v) < E erfiillt ist. Dementsprechend neiinen wir eine Folge (vJ von Verteilungsgesetzeii asymptotisch gleichverteilt, wenn fur alle kompakten B die Konvergen z sup Var (v, -6, * V J % -0 ZEB stattfiiidet. Allgemeine Ausfuhrungen iiber dieseii Begriff gibt Abschnitt 1. Im Fall G = R wurde von H. HERRMANN in [7] nachgewiesen, dal3 die Folge der Faltungspotenzeii eiiies T'erteilungsgesetzes v genau dann asymptotisch gleichverteilt ist, weiiii mindestens ein v" nicht rein singular ist. I n Abschnitt 3 wird die bereits in [ 101 angefiihrte Verallgemeinerung dieses Satzes fiir beliebige G bewiesen. Sie enthalt die fur G = R von selbst erfiillte zusatzliche Bediiiguiig, daR v nichtgitterformig ist. Die Gleichverteilurigseigenschafteii voii Faltungspotenzen beliebiger Verteilungsgesetze lasseii sich erst erfassen, wenn zuvor der Begriff der asymptotischen Gleichverteilung in geeigneter Weise abgeschwacht murde. Fur G = R wurde von DOBRUSCHIN in [4] eine entsprechende Definition eiiigefuhrt, beziiglich der z. B. die Folge der

Zweidimensionale und lokale Charakterisierung der asymptotischen Gleichverteilung

“…Mit 9 bezeichnen wir wieder die Menge der regularen WahrscheinlichkeitsmaBe auf (3 ; A sei ein im weiteren festgehaltenes regulares l3iut-sches M a D , fur eine relativ kompakte Menge A E (3 bedeute A, die Gleichverteilung auf A. Wir beweisen die Aquivalenz der asymptotischen Gleichverteilung mit einer etwas allgemeineren Bedingung. Dabei benutzen wir im Unterschied zu [5] nicht den Struktursatz HAosDoRFFscher lokalkompakter abelscher topologischer Gruppen.…”

Sequential convergence to invariance in 𝐵𝐶(𝐺)

“…Kerstan and Matthes [4] have shown that this happens if A is ergodic (supported by no closed coset) and A" is asymptotically absolutely continuous with respect to the Haar measure of the group.…”

Verallgemeinerungen eines Satzes von DOBRUSCHIN. III

“…Nach KERSTAN/~%TTHES [9] heiBt eine Folge Y, von Verteilungsgesetzen auf einer lokalkompakten abelschen Gruppe T asymptotisch gleichverteilt. wenn fur alle t aus T die Konvergenz der Variationsabstiinde Um in den Bezeichnungen nicht zu schwerfallig zu uerden, lassen wir das Il7ort ,,ruckwarts" in der Definition im weiteren fort.…”