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EinleitungEs werden topologische Ringe betrachtet, die Durchschnitte von diskreten Bewertungsringen sind und statt der Endlichkeitsbedingung der Kanwsinge eine topologische Endlichkeitsbedingung erftillen. Die dadurch definierten topologischen Kmmringe (Definition 2) erftillen h n n eine der Endlichkeitsbedingung der Kmmringe entsprechende Abziihlbarkeitsbdmgung (Proposition 1). Zu den topologischen Kmmringen gehoren insbesondere die in naturlicher Weise definierten topologischen ZPE-Ringe (Definition 5). Beispiele ftir eolche topologischen ZPE-Ringe sind die Ringe holomorpher Funktionen auf Rmm6a"schen Flbhen (Satz 2). Satz 3 behandelt ein entsprechendea p-adisches Beispiel.AuSerdem ist mit der Produkttopologie der Polynomring B[X] iiber einem topologischen I(I~ULL-bzw. ZPE-Ring wieder ein topologischer Hamring bzw. topologischer ZPE-Ring.In Abschnitt 2 werden die Divisorgruppe und der Hauptteilraum (Definition 8) eines topologischen K a w i n g e s mit einer in naturlicher Beziehung zur Ringtopologie stehenden Topologie versehen, durch die sie zu einer topologischen Grupp bzw. einem topologischen Vektomum werden. Strukturuntemuchungen fur die Divisorgruppe liefern dann analoge Resultate wie bei klmsiachen Jhmringen (Satz 5). Schliel3lich werdon Bedingmgen angegeben, unter denen topologische K m u r i n g e BEzouT-Ringe sind (Satz 6). Dim impliziert insbeaondere, dal3 die Ringe holomorpher Funktionen auf Rmmmschen Fliichen und auf C , BEzouT-Ringe sin&Dieae Arbeit ist Teil meiner Dissertation, die ich bei Professor W. JEHNE angefertigt habe. Ihm mochte ich an dieaer Stelle fiir die Anregung und Forderung der Arbeit herzIich danken. Topologhhe KauLLrhge nnd fopologk?he ZPE-RingeEs sei R ein Integrit&tsbereich, R sein Quotientenktirper und (wr)ieI eine Familie von nicht-iiquivalenten, einrangigen, diskreten Bewertungen von R.Ist R = n R,,, der Durohschnitt der Rewertungsringe Rei, so heiBt (wJiEI eine iEZ -