We apply the method of nonlinear steepest descent to compute the long-time asymptotics of the Korteweg-de Vries equation with steplike initial data leading to a rarefaction wave. In addition to the leading asymptotic we also compute the next term in the asymptotic expansion of the rarefaction wave, which was not known before.

Единственность решения задачи Римана -Гильберта для волны разрежения уравнения Кортевега -де Фриза Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым Существенным моментом в асимптотическом анализе решений нелинейных вполне интегрируемых уравнений методом наискорейшего спуска является исследование единственности решения соответствующей задачи Римана -Гильберта. В работе устанавливается единственность решения задачи Римана-Гильберта, построенной по левым данным рассеяния для уравнения Кортевега -де Фриза с начальными данными типа ступеньки, соответствующими волне разрежения. Такая задача позволяет исследовать асимптотическое поведение решения позади заднего волнового фронта. Доказательство единственности проведено как для нерезонансного, так и для резонансного случаев.

We discuss an asymptotical behavior of the rarefaction wave for the KdV equation in the region behind the wave front. The first and the second terms of the asymptotical expansion for such a solution with respect to large time were derived without detailed analysis in [1]. In the present work, we correct the formula for the second term by investigating the corresponding parametrix problem. We also study an influence of the resonance on the asymptotical behavior of the solution.

Рассмотрена задача Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с начальными данными типа ступеньки. Построены регуляризованные интегралы движения и получено их представление через данные рассеяния соответствующего уравнения Шредингера. Ключевые слова: уравнение кортевега-де Фриза, интегралы движения, данные рассеяния. рассмотрим задачу коши для уравнения кортевега-де Фриза (кдФ) с вещественной начальной функцией типа ступеньки в работе [1] доказано, что при соответствующем выборе начальной функции задача (1), (2) имеет решения шварцевского типа, обладающие свойствами