Данная публикация продолжает серию работ автора о моделировании односторонних поверхностей. На односторонней поверхности существует замкнутая кривая (дезориентирующий контур), обладающая тем свойством, что при обходе локальная ориентация в касательном пространстве меняет знак. Односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Рассматриваются две гладкие вектор-функции. Предполагается, что одна из них есть 2π периодическая, другая 2π — антипериодическая. С использованием найденных функций определяются уравнения бутылки Клейна, дезориентирующие контуры и уравнения двух листов Мебиуса, на которые разрезается бутылка Клейна. В работе исследуется инверсия бутылки Клейна. Доказывается, что если бутылка Клейна не проходит через центр инверсии, то инверсия бутылки Клейна есть бутылка Клейна. Доказывается также, что если бутылка Клейна не проходит через центр инверсии, то дезориентирующие контуры бутылки Клейна при инверсии перейдут в дезориентирующие контуры. С помощью системы компьютерной математики строятся исследуемые поверхности.

No abstract

No abstract

Если на поверхности в E 3 существует замкну-тая кривая (дезориентирующий контур), обла-дающая тем свойством, что при ее обходе ло-кальная ориентация в касательном пространстве меняет знак, то поверхность называется одно-сторонней. Односторонней поверхностью явля-ется лист Мебиуса. В евклидовом пространстве E 3 рассматриваются две гладкие вектор-функцииС использованием найденных функций опреде-ляется уравнение листа Мёбиуса. Находятся дез-ориентирующие контуры. Исследуется инверсия листа Мёбиуса. Доказывается, что если лист Ме-биуса не проходит через центр инверсии, то инвер-сия листа Мёбиуса есть лист Мёбиуса. Доказыва-ется также, что если лист Мёбиуса не проходит через центр инверсии, то его дезориентирующие контуры при инверсии перейдут в дезориентирую-щие контуры. Рассматривается пример листа Мё-биуса. На торе задается замкнутая кривая с помо-щью 4π-периодической вектор-функции ρ = ρ(u).Определяются уравнения листа Мёбиуса и его инверсии. С по-мощью системы компьютерной математики стро-ятся исследуемые поверхности.Ключевые слова: лист Мёбиуса, инверсия, пе-риодические функции. DOI 10.14258/izvasu(2017)4-29If a closed curve (disorienting contour) exists the surface in E 3 , and the local orientation in the tangent space changes its sign while tracing this curve, then the surface is called a one-sided surface. A Mobius band is the one-sided surface. Two smooth vectorfunctions are considered in the Euclidian space E 3 :

Если вдоль некоторой замкнутой кривой на поверхности локальная ориентация в касательном пространстве меняет знак, то поверхность называется односторонней. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мёбиуса. К односторонним поверхностям относится также бутылка Клейна, скрещенный колпак. Бутылку Клейна можно рассматривать как два листа Мёбиуса, склеенные по краю. В работе бутылка Клейна разрезается на два листа Мёбиуса. Пусть на торе Клиффорда в E 4 задана замкнутая кривая с помощью 4π-периодической векторфункции. Используя найденную функцию, определяются уравнения листов Мёбиуса, бутылки Клейна. Если средняя линия одного из листов Мёбиуса вырождается в точку, то получим скрещенный колпак. С помощью системы компьютерной математики строятся индикатрисы нормальной кривизны исследуемых поверхностей. В случае бутылки Клейна индикатриса нормальной кривизны есть эллипс. Если бутылка Клейна вырождается в скрещенный колак, то индикатриса нормальной кривизны есть окружность. Ключевые слова: бутылка Клейна, лист Мёбиуса, скрещенный колпак, 4π-периодическая функция.A surface is called the one-sided surface if a local orientation along a closed curve on a tangent space changes its sign. The simplest one-sided surface is the Mobius strip. The Klein bottle and cross-cap are also one-sided surfaces. The Klein bottle can be considered as two Mobius strips glued on edges.In this paper, the Klein bottle is cut into two Mobius strips. We define the closed curve on the Clifford torus in E 4 using 4π-periodic vectorfunction. We get a cross-cap if the Mobius strip degenerates into a point. Indicatrices of normal curvature for the investigated surfaces are studied with the help of computer mathematics. For the Klein bottle, the indicatrix of normal curvature is an ellipse. If the Klein bottle degenerates into a crossсap, then the indicatrix of normal curvature is a circle.