No abstract

No abstract

В данной статье для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольнике сформулирована начально-граничная задача. Применяя метод разделения переменных к поставленной задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее, исследованы равномерная сходимость некоторых билинейных рядов и порядок коэффициентов Фурье, зависящих от найденных собственных функций. Решение изучаемой задачи найдено в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

No abstract

We propose a direct method for the approximate solution of integral equations that arise in the course of approximate solution of a periodic boundary-value problem for linear differential equations by the method of boundary conditions. We show that the proposed direct method is optimal in order. Ly = y(r) + Z Pi(t)y(i) = f(t),where r > 1; the requirements concerning the smoothness of the coefficients Pi(t) and the right-hand side f(t) are formulated below. One of the methods for the approximate solution of the boundary-value problem (1), (2) is the method of a function of boundary conditions proposed by Atekseenko [I]. According to this method, a solution of (1), (2) ----Pi(t)Dr_i(t-'r,) u(~)dx + f(t). o (4)Let u N(t ) be an approximate solution of the integral equation (4) obtained by a direct method according to which the integral operator in (4) is replaced by an operator whose rank does not exceed N. As an approximate solution of problem (1), (2), we take the function 2~ _ C]UN(T,)dT,. YN(t) = I [ 1Dr(t '~)+ (5) 0If we assume that Eq. (4) and, consequently, problem (1), (2) are uniquely solvable for any function f e C, then (3) and (5) yield the following estimate for the error of the approximate solution:Institute of Mathematics, Ukrainian Academy of Sciences, Kiev.