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ABSTRACT.In the present paper we want to give a common structure The particular case of algebras with fixed "natural numbers object" has been studied by the authors in [23].

Within a categorical framework for primitive recursion, equality between p.r. maps is shown to be definable by suitable p.r. equality predicates. Equivalence is shown between a direct categorical formalization of classical p.r. functions and p.r. maps in the sense of Lawvere and Freyd. An extension of the theory is shown to admit a 'universal set' containing all objects of the extended theory of subobjects.

Die Suche nach qualitativ zuverlässigen Symptomen und quantitativ auswertbaren Kennwerten für Volumenfehler, Trennungen und andere Unstetigkeiten in Werkstücken ohne deren Verletzung und verbunden mit der Aussage über die praktische Bedeutung und künftige Vermeidbarkeit etwa gefundener Mängel oder Fehler ist die Aufgabe der zerstörungsfreien Materialprüfung. Die Aufgabe der mit ihr verbundenen zerstörungsfreien Werkstoffprüfung ist, Aussagen über die Art, den Zustand und wichtige, dadurch bedingte Verarbeitungs‐ und Gebrauchseigenschaften von Werkstoffen wenn möglich am Werkstück selbst oder an dafür erforderlichen, aber für weitere Untersuchungen verwendbaren Proben ohne deren Beschädigung zu gewinnen. Die eigentliche Problematik der zerstörungsfreien Material‐ und Werkstoffprüfung ist neben einer verläßlichen Weiterentwicklung und Anwendung dieser Verfahren deren schlußfolgernde Verbindung mit den Erkenntnissen der werkstoff‐ und beanspruchungsbezogenen Festigkeitsforschung. Eine systematische Übersicht über die Aussagemöglichkeiten der zerstörenden und der nichtzerstörenden Material‐ und Werkstoffprüfung kann die Lösung dieser Problematik fördern helfen.

0. Einleitung I n den ersten beiden Abschnitten wird die Theorie der Reduktion, der Minirnierung und Aquivalenz, ausgehend von den Untersuchungen in [9], [I 11 und [17], gemeinsam fur vollstandige und partiell definierte QuintupelAutomaten mit und ohne (ausgezeichnetem) Anfangszustand mit kstegoriellen Begriffen und Methoden behandelt. Die durch das Ein-Ausgabeverhalten definierte Bquivalenz von Zustanden erweist sich als Kernpaar und der (voll-)reduzierte Automat als Differenzcokern dieses Kernpaares. Die natiirliche Reduktion in den vollreduzierten Automaten ist Losung eines universellen Reflektionsproblems und gleichzeitig eines automatentheoretisch interessanten und in [ 121, Theorem 6.10 forniulierten speziellen Yroh1en;s irn kategoriellen Sinne, die; durrh die 1;'bertragungssktze in [lY], [le] wid [5] gekoppelt sind. Die Losbarkeit des speziellen Problems gestattet, ,,teilweise" Rediiktioner, zur ,,vcJllen" Reduktion zu erganzen, woraus insbesondere die Verkiirzbarkeit von Morphismenketteii (vgl. [Zj) und die Eindeutigkeit des (voll-)reduzierten Automatenfolgt. Dariiber hinaus ergibt sich eine Charaktei-isierung derjenigen Automatenmorphismen, die das Ein-Ausgabeverhalten s~onAutomaten bswahren. Neben der Reduktion erweist sich auch die Mininiierung sls Funktor, der fur Automaten ohne Anfangszustaiid mit dem Redixktionsfimktor iiboreinstinimt. wahrend er sich fur solche mit Anfangszustrtnd als Komposition des Reduktionsfunktors mit, einem ,,E:rzeugixngs"fLinlitor ergiht. Dieser ist Losung eines couniverselleri Problems. Such die Minimierung ist bis auf Isomorphic eindmtig. Ihbei wird hier fur partiell defiriierte Aiitomaten der Miriimalitatsbegriff von [I ] verwendet. Die funktorie!le Behandlung der Minimierung von partiell definierten Automaten ini ' 3' inne \--on 1131, [ 7 ] und [4] wird hier noch nicht behandelt. Dariiber hinaus wird fur die verschiedenen Automatontypen die durch das E=iti-ausgabeverhalten definierte aquivalenz morphisinentheoretisch charakterisiert.