Here, we present a theoretical framework for two-parameter semigroups of bounded linear operators on a Banach space. Our approach relies on a new definition of the infinitesimal generator of two-parameter semigroups. This definition, in the case of C0-two parameter semigroups, allows trajectory to be differentiable on the nonnegative cone of the plane, when the initial state is in the domain of this generator. We provide also the abstract Cauchy problem satisfied by these trajectories. We prove some theoretical and general results concerning relationships between this generator and the infinitesimal generators of the components. We investigate commutativity relations and precise the domains of their validity. We establish the extension of the Hille-Yoshida known for one-parameter semigroups. We provide some examples and we give an application to the product semigroup.

Reçu le 7 juin 2004 et en forme révisée le 7 mars 2005Nousétudions les propriétés spectrales locales du shift unilateralà poids opérateurs. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que l'adjoint satisfasse la propriété de l'extension unique (SVEP). Une condition suffisante pour satisfaire la propriété de Dunford (C) ainsi qu'une condition nécessaire pour satisfaire la condition de Bishop (β) seront données. Enfin, nous montrons que le shiftà poids opérateurs est décomposable si, et seulement si, il est quasinilpotent.

Resume. Dans cet article on donne un exemple d'operateur shift a poids quasinilpotent, tel que l'algebre fermee pour la topologie faible des operateurs, engendree par ce shift, contient un element dont le spectre non reduit a un point. Cet exemple constitue une reponse affirmative a la question 6 soulevee par A. L. Shields dans Weighted shift operators and analytic function theory,