Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9 Методы тропической (идемпотентной) математики применяются для решения минимакс-ных задач размещения с прямоугольной метрикой при наличии ограничений на допустимую область размещения. Сначала рассматривается задача тропической оптимизации с ограниче-ниями, сформулированная в терминах некоторого общего полуполя с идемпотентным сложе-нием. Для решения задачи оптимизации вводится параметр, который обозначает минимум це-левой функции, а затем задача сводится к параметризованной системе неравенств. Значение параметра определяется из условий существования решений системы, а решения системы при найденном значении параметра берутся в качестве решений исходной задачи оптимизации. За-тем формулируется минимаксная задача размещения одиночного объекта на отрезке прямой на плоскости с прямоугольной метрикой. При отсутствии ограничений эта задача, которая также известна как задача Ролса или задача посыльного, имеет известные геометрическое и алгебраи-ческое решения. Для задач размещения, в которых область размещения ограничена отрезком прямой, получено новое решение на основе представления этих задач в форме изученной выше задачи тропической оптимизации. Приведены решения в явном виде задач размещения для различных положений прямой, записанные как в терминах тропической математики, так и в обычной форме. Библиогр. 16 назв.Ключевые слова: тропическая оптимизация, идемпотентное полуполе, прямоугольная мет-рика, задача Ролса о размещении с ограничениями.1. Введение. Модели и методы тропической (идемпотентной) математики, изу-чающей теорию и приложения полуколец с идемпотентным сложением [1-9], находят применение для решения различных задач в технике, экономике, управлении и в других областях. В таких приложениях часто возникают оптимизационные задачи, которые формулируются и решаются в терминах тропической математики (задачи тропической оптимизации). Краткий обзор таких задач оптимизации можно найти, например, в работе [10].Методы тропической оптимизации успешно применяются для решения ряда за-дач размещения [2,[11][12][13], включая минимаксную задачу размещения одиночного объекта на плоскости с прямоугольной метрикой. Указанная задача, которую также называют задачей Ролса или задачей посыльного, имеет при отсутствии ограничений на допустимую область размещения известное геометрическое решение [14, 15]. На основе представления в виде задачи тропической оптимизации в работах [12, 13] бы-ло дано алгебраическое решение этой задачи, полученное в явном виде в замкнутой форме.В настоящей статье изучается минимаксная задача размещения на плоскости с прямоугольной метрикой при условии, что допустимая область размещения имеет форму отрезка произвольной прямой. Сначала рассматривается задача тропической оптимизации с ограничениями, для которой находится прямое решение в явном ви-де. Применяется подход, который был развит в работах [10, 16] и состоит в замене * Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ в рамках...
