Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ; àíèçîòðîïíûå ñðåäû; ìåòîä Ãàëåðêè-íà ñ ðàçðûâíûìè áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè; ñõîäèìîñòü è òî÷íîñòü ÷èñëåííîãî ìåòîäà. ÂâåäåíèåÄàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ðåøåíèþ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà òðåóãîëü-íûõ ñåòêàõ ìåòîäîì Ãàëåðêèíà ñ ðàçðûâíûìè áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè (ÐÌÃ), èëè Discontinuous Galerkin Method (DGM) [1, 2], êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ âûñîêèì ïî-ðÿäêîì òî÷íîñòè ïîëó÷àåìîãî ðåøåíèÿ [35]. Êàê ïðèíÿòî ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ðàçðûâíûì ìåòîäîì Ãàëåðêèíà [5], â äàííîé ðàáîòå óðàâíåíèÿ ïà-ðàáîëè÷åñêîãî òèïà çàïèñàíû â âèäå ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, è ðåøåíèå ïðîèñõîäèò â äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå âû÷èñëÿþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå, àïïðîêñèìàöèÿ êîòîðûõ â ïðåäåëàõ ÿ÷åéêè äâîéñòâåííîé ñåòêè íàõîäèòñÿ â âèäå ïî-ëèíîìîâ ñòåïåíè p ñ çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè êîýôôèöèåíòàìè [5, 6]. Íà ñëåäóþùåì ýòàïå íàõîäèòñÿ ñàìî ðåøåíèå, àïïðîêñèìàöèÿ êîòîðîãî â ïðåäåëàõ ÿ÷åéêè îñíîâíîé ñåòêè èùåòñÿ â âèäå ïîëèíîìîâ ñòåïåíè p ñ çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè êîýôôèöèåí-òàìè. Ïðè ýòîì íà ïåðâîì ýòàïå íå âîçíèêàåò íèêàêèõ òðóäíîñòåé ïðè âû÷èñëåíèè ïîòîêîâ ÷åðåç ãðàíèöó ýëåìåíòîâ, â òî âðåìÿ êàê íà âòîðîì âîçíèêàåò òàêàÿ ïðîáëå-ìà.  äàííîé ðàáîòå ïðåäëîaeåí àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ïîòîêîâ íà ãðàíèöå ýëåìåíòîâ, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè [6], èñïîëüçóÿ ñòàáèëèçèðóþùèå äîáàâêè.Äëÿ âåðèôèêàöèè ðàáîòû ïðåäëîaeåííîãî ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ ïîòîêîâ íà ãðàíè-öå ýëåìåíòîâ èñïîëüçîâàëèñü çàäà÷è, ãäå ïîëó÷åíî õîðîøåå ñîãëàñîâàíèå ðåçóëüòàòà ðàñ÷åòîâ ñ òî÷íûì ðåøåíèåì è ïîêàçàí âûñîêèé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ñõåìû.

Для решения уравнений диффузионного типа в настоящее время широко применяется конечно-элементный метод Галeркина с разрывными базисными функциями (РМГ), который характеризуется высоким порядком точности получаемого решения. Для применения РМГ исходное уравнение второго порядка преобразуется к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся вспомогательные потоковые переменные. В соответствии с традиционным подходом в РМГ решение в каждой ячейке основной сетки представляется в виде линейной комбинации базисных функций. Тепловой поток ищется в виде линейной комбинации базисных функций на ячейках двойственной сетки. Двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов, построенных относительно вершин основной сетки. Интегрирование по объемам и граням ячеек базируется на использовании квадратурных формул Гаусса. Численный алгоритм рассматривается на примере решения начально-краевой задачи для трехмерного уравнения теплопроводности. Численная методика реализована в виде программного продукта и ориентирована на решение трехмерных задач теплопроводности на неструктурированных тетраэдральных сетках. В работе представлены результаты расчетов ряда тестовых задач, демонстрирующие возможности и точность методики.

Введение. В работе представлены априорные оценки точности решения однородной краевой задачи для параболического уравнения методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках. Материалы и методы. Для решения поставленной задачи применяется унифицированный подход по исследованию ошибок аппроксимации уравнений диффузионного типа с помощью метода Галеркина с разрывными базисными функциями, предложенный в 2002 г. P. Castillo, B. Cockburn и др. Результаты исследования. В статье приводятся ошибки аппроксимации, зависящие от характеристического размера ячеек и степени используемых в базисных функциях полиномов; формулируются необходимые для решения задачи леммы; проводится полное доказательство сформулированных лемм. В результате исследования была сформулирована и доказана теорема, в которой приводятся априорные оценки для решения параболических уравнений с помощью метода Галеркина на разнесенных сетках. Обсуждение и заключения. Полученные результаты согласуются с аналогичными исследованиями других авторов и дополняют их. Дальнейшая работа по данной тематике предполагает исследование уравнений диффузионного типа порядка выше единицы и получение апостериорных оценок погрешности. Ключевые слова: априорная оценка погрешности, конечный элемент, метод Галеркина, разрывные базисные функции, параболическая задача Для цитирования: Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Пескова Е. Е. Априорные оценки решения однородной краевой задачи для уравнений параболического типа методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках // Вест

A numerical algorithm is proposed for solving the problem of non-stationary filtration of substance in anisotropic media by the Galerkin method with discontinuous basis functions on unstructured triangular grids. A characteristic feature of this method is that the flux variables are considered on the dual grid. The dual grid comprises median control volumes around the nodes of the original triangular grid. The flux values of the quantities on the boundary of an element are calculated with the help of stabilizing additions. For averaging the permeability tensor over the cells of the dual grid, the method of support operators is applied. The method is studied on the example of a twodimensional boundary value problem. The convergence and approximation of the numerical method are analyzed, and results of mathematical modeling are presented. The numerical results demonstrate the applicability of this approach for solving problems of non-stationary filtration of substance in anisotropic media by the discontinuous Galerkin method on unstructured triangular grids.

Представлен численный алгоритм для решения уравнений многокомпонентной газовой динамики с помощью разрывного метода Галеркина на локально-адаптивных сетках. В численном алгоритме используется структура данных и алгоритм динамической локальной адаптации сетки из библиотеки p4est. В работе используются численные потоки Лакса-Фридрихса-Русанова и HLLC. Для избавления от нефизических осцилляций применяется лимитер Барта-Йесперсена. В результате исследования было проведено моделирование развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, проведено сравнение полученных результатов с результатами эксперимента и известными численными решениями данной задачи. Сделан вывод о хорошем совпадении расчетных и экспериментальных данных. В дальнейшем предполагается исследование данного процесса с использованием модели, учитывающей явления вязкости и теплопроводности.