In this paper we consider the heat equation coupled with Darcy's law with a nonlinear source term describing heat production due to an exothermic chemical reaction. Existence and uniqueness of a solution are established. Next, a spectral discretization of the problem is presented and thoroughly analysed. Finally, we present some numerical experiments which confirm the interest of the discretization.Résumé: Dans cet article, nous considérons l'équation de la chaleur couplée avec la loi de Darcy avec un terme source non linéaire décrivant la production de chaleur dueà une réaction chimique exothermique. L'existence et l'unicité d'une solution sontétablies. Ensuite, une discrétisation par méthode spectrale du problème est décrite et analysée en détail. Enfin, nous présentons quelques expériences numériques qui confirment l'intérêt de la discrétisation.

No abstract

Abstract:We consider the non stationary flow of a viscous incompressible fluid in a rigid homogeneous porous medium provided with mixed boundary conditions. Since the boundary pressure can present high variations, the permeability of the medium also depends on the pressure, so that the problem is nonlinear. We propose a discretization of this equation that combines Euler's implicit scheme in time and spectral methods in space. We prove optimal a priori error estimates and present some numerical experiments which confirm the interest of the discretization.Résumé: Nous considérons l'écoulement instationnaire d'un fluide visqueux incompressible dans un milieu poreux rigide avec des conditions aux limites mixtes. Comme la pression sur la frontière peut présenter de fortes variations, la perméabilité du milieu est supposée dépendre de la pression de sorte que le modèle est non linéaire. Nous proposons une discrétisation en temps et en espace du système complet en utilisant le schéma d'Euler implicite et les méthodes spectrales. Nous prouvons des estimations d'erreur optimales et présentons quelques expériences numériques qui confirment l'intérêt de la discrétisation.