Resumo. Neste trabalho apresentamos o conceito de famílias consistentes e alguns resultados teóricos, com o objetivo principal de desenvolver uma heurística para a coloração total de grafos, procurando respeitar a conjectura de Vizing-Behzad. Para isso, denimos inicialmente alguns termos necessários para a identicação destas famílias. Em seguida, provamos quatro proposições relativas a este novo conceito, e nalizamos o texto fazendo a conexão entre estas famílias e a coloração total.Palavras-chave. Família consistente, conjectura de Vizing, coloração total. IntroduçãoExistem diversas heurísticas que tratam o problema da coloração em grafos [2,4,5], e neste trabalho, apresentamos alguns resultados teóricos e uma nova heurística para obter a coloração total de um grafo, com no máximo ∆ + 2 cores (conjectura de Vizing-Behzad), baseada no conceito de famílias consistentes. Este texto está organizado da seguinte forma: inicialmente apresentamos os conceitos de família nita, subfamília, multiplicidade, igualdade de famílias e família robusta, que serão necessários para a introdução dos conceitos de família consistente, elemento crítico e família associada. Em seguida, enunciamos e provamos quatro proposições que serão úteis para a identicação e construção das famílias consistentes. Finalizamos o trabalho fazendo a conexão entre estas famílias e o processo de coloração total de grafos. Ressaltamos ainda, que das quatro proposições apresentadas, a 3.3 e a 3.4 representam novas contribuições para o desenvolvimento deste estudo.

This paper presents a generalization of the cartesian product of graphs, which we call the functional product of graphs. We prove some properties of this new product, and we show that it is commutative, associative under certain conditions, and it has a neutral element, which consists of a single vertex without edges (the trivial graph). We present a characterization of the graphs, which can be obtained from functional product of other graphs. We prove that the maximum degree of the product graph is the sum of the maximum degrees of the factor graphs, and we present conditions that ensure the connectedness of the product graph. Finally, we present an application of the functional product of graphs, in which we prove some results that allow to generate graphs that admit an equitable total coloring, with at most ∆ + 2 colors.

RESUMO. Neste trabalho, os conceitos de produto funcional de grafos e coloração total equilibrada foram utilizados para propor um modelo de conexão entre sistemas multiagentes. Mostramos como gerar uma família de grafos regulares que admite coloração de vértice com folga com + 1 cores, denominada grafos harmônicos. Esse resultado demonstra que esses grafos dispõem de uma estrutura escalável e recursiva, pois a partir de uma instância básica inicial, pode-se expandir dinamicamente sua forma, mantendo-se propriedades como conexidade e regularidade. Finalizamos apresentando um modelo de conexão entre sistemas multiagentes (SMA), com a utilização dos grafos harmônicos como suporte para construção de topologias de rede overly P2P para a comunicação entre estes sistemas.

Resumo. Neste trabalho introduzimos o conceito de coloração total absolutamente equilibrada e provamos que para n, k ∈ N, se (k + 1)|n, existe um grafo k-regular conexo com n vértices que admite uma coloração total absolutamente equilibrada com no máximo ∆ + 2 cores. Esse resultado mostra que existe uma relação entre a regularidade e o número de vértices do grafo que possibilita a construção de uma família de grafos regulares, denominados grafos harmônicos. Finalizamos apresentando um resultado relacionado ao invariante conectividade, mostrando que os grafos harmônicos não possuem vértice de corte, fato que implica que todo grafo harmônico possui conectividade de vértices κ(G) ≥ 2.