Строится решение задачи Коши для системы двух квазилинейных однородных уравнений в частных производных первого порядка при помощи метода годографа, позволяющего преобразовать решение квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к решению некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с~переменными коэффициентами. Показано, что различные варианты метода годографа - стандартного, на основе закона сохранения и обобщенного метода годографа, позволяющие строить решение задачи Коши в неявной форме, в конечном итоге, приводят к одному и тому же результату и отличаются лишь объемом технической работы. Доказательство осуществляется путем вычисления инвариантов Лапласа для канонической формы линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. В случае, когда уравнения допускают явную связь исходных переменных с инвариантами Римана и соответствующее линейное уравнение метода годографа позволяет указать явную форму функции Римана - Грина, описан способ построения явного решения на линиях уровня неявного решения. Задача Коши для системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка сводится к задаче Коши для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера приведено точное неявное решение для системы слабо-нелинейных уравнений. Все рассмотренные методы и способ построения явного решения можно применять для уравнений гиперболического и эллиптического типов. В случае гиперболических уравнений возможно построение автомодельных и разрывных решений (после добавления условий на разрывах), а также решений многозначных по пространственной координате (если такие решения допускаются постановкой задачи). Несмотря на то, что на заключительном этапе метода задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений приходится решать численно, никаких аппроксимаций уравнений в частных производных, типичных для конечно-разностного метода, метода конечных элементов, метода конечных объемов и т. п. не используется. Метод является точным в том смысле, что погрешность вычислений связана лишь с точностью интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

One of the mathematical models describing the behavior of two horizontally infinite adjoining layers of an ideal incompressible liquid under a solid cover moving at different speeds is investigated. At a large difference in the layer velocities, the Kelvin-Helmholtz instability occurs, which leads to a distortion of the interface. At the initial point in time, the interface is not necessarily flat. From a mathematical point of view, the behavior of the liquid layers is described by a system of four quasilinear equations, either hyperbolic or elliptic, in partial derivatives of the first order. Some type shallow water equations are used to construct the model. In the simple version of the model considered in this paper, in the spatially one-dimensional case, the unknowns are the boundary between the liquid layers h(x,t) and the difference in their velocities γ(x,t). The main attention is paid to the case of elliptic equations when |h|<1 and γ>1. An evolutionary Cauchy problem with arbitrary sufficiently smooth initial data is set for the system of equations. The explicit dependence of the Riemann invariants on the initial variables of the problem is indicated. To solve the Cauchy problem formulated in terms of Riemann invariants, a variant of the hodograph method based on a certain conservation law is used. This method allows us to convert a system of two quasilinear partial differential equations of the first order to a single linear partial differential equation of the second order with variable coefficients. For a linear equation, the Riemann-Green function is specified, which is used to construct a two-parameter implicit solution to the original problem. The explicit solution of the problem is constructed on the level lines (isochrons) of the implicit solution by solving a certain Cauchy problem for a system of ordinary differential equations. As a result, the original Cauchy problem in partial derivatives of the first order is transformed to the Cauchy problem for a system of ordinary differential equations, which is solved by numerical methods. Due to the bulkiness of the expression for the Riemann-Green function, some asymptotic approximation of the problem is considered, and the results of calculations, and their analysis are presented.

We consider the problem of zonal electrophoresis of a two-component mixture with spatially periodic initial distribution of the mixture components. Two methods of solution are proposed: analytical (hodograph method) and numerical (method of finite volumes). A comparative analysis of the results obtained is performed.

No abstract

No abstract