No abstract

No abstract

$k$-Циклический граф - это граф с цикломатическим числом, равным $k$. Получена явная формула для числа помеченных связных внешнепланарных $k$-циклических графов с заданным числом вершин. Кроме того, такие графы с фиксированным числом $k$ и большим числом вершин перечислены асимптотически. Как следствие, выводится, что при фиксированном числе $k$ почти все помеченные связные внешнепланарные $k$-циклические графы с большим числом вершин являются кактусами. Библиография: 12 названий.

Several problems on the graph enumeration, which can be solved by the use of a unified method suggested and developed by the first of the authors, are considered. In order to enumerate graphs of a given type, an induced subgraph with particular structure properties should be chosen in each graph and shrunk to a special vertex. The graphs obtained, which contain a fixed (special) vertex of some degree, and also the shrunk subgraphs are enumerated separately by some known methods of graph enumeration. The enumeration of the initial graphs is completed by summing, over all possible degrees of the special vertex, the products of the number of the shrunk subgraphs, the number of the graphs obtained after shrinking, and the number of ways of reconstructing (expanding to) the initial graph.

Последовательно-параллельный граф - это граф, не содержащий в качестве минора полный граф с четырьмя вершинами. Получена явная формула для числа помеченных последовательно-параллельных трициклических графов с заданным числом вершин, а также найдена асимптотика для числа таких графов с большим количеством вершин. Доказано, что при равномерном распределении вероятностей вероятность того, что помеченный трициклический граф является последовательно-параллельным графом, асимптотически равна $13/15$.