We consider a set of equations of the form Pj (x, y) = (10x + mj )(10y + nj ), x ≥ 0, y ≥ 0, j = 1,2,3, such that {m 1 = 7, n 1 = 3}, {m 2 = n 2 = 9} and {m 3 = n 3 = 1}, respectively. It is shown that if ( a ( p j ) , b ( p j ) ) ∈ ℕ × ℕ is a solution of the j’th equation one has the inequality p j 100 ≤ A ( p j ) B ( p j ) ≤ 121 10 4 p j , where A ( p j ) ≡ a ( p j ) + 1 , B ( p j ) ≡ b ( p j ) + 1 and pj is a natural number ending in 1, such that { A ( p 1 ) ≥ 4 , B ( p 1 ) ≥ 8 } , { A ( p 2 ) ≥ 2 , B ( p 2 ) ≥ 2 } , and { A ( p 3 ) ≥ 10 , B ( p 3 ) ≥ 10 } hold, respectively. Moreover, assuming the previous result we show that 1 ≤ ( A ( p j + 10 ) B ( p j + 10 ) A ( p j ) B ( p j ) ) 1 / 100 ≤ e 0 , 000201 × ( 1 + 10 p j ) ( 0 , 101 ) 2 , with { A ( p 1 ) ≥ 31 , B ( p 1 ) ≥ 71 } , { A ( p 2 ) ≥ 11 , B ( p 2 ) ≥ 11 } , and { A ( p 3 ) ≥ 91 , B ( p 3 ) ≥ 91 } , respectively. Finally, we present upper and lower bounds for the relevant positive integer solution of the equation defined by pj = (10A + mj )(10B + nj ), for each case j = 1, 2, 3, respectively.

No abstract

No abstract

We prove a coordinatization theorem for unital alternative algebras containing 2 2 matrix algebra with the same identity element 1. This solves an old problem announced by Nathan Jacobson on the description of alternative algebras containing a generalized quaternion algebra H with the same 1, for the case when the algebra H is split. In particular, this is the case when the basic field is finite or algebraically closed.

AgradecimentosEm primeiro lugar, quero agradecer a Cristo nosso Senhor por guiar meus passos, por ter me fortalecido em momentos de angústia, desespero e também de alegria, e também por ter permitido cumprir um dos meus grandes desejos, obter o doutorado.Eu também quero agradecer a muitas pessoas que me ajudaram a cumprir este sonho. Meus mais sinceros agradecimentos ao professor Ivan Shestakov, pela sua sabedoria e paciência em me guiar, pois as inúmeras conversas e suas palavras foram fundamentais na minha formação como matemático.Agradeço também a minha família, a minha mãe Eugenia Hermelinda, ao meu pai Victor Modesto e ao meu irmão Jesús Miguel por me dar amor, carinho e que apesar da distância conseguiram acompanhar-me nos meus dias de luta para tornar este sonho realidade. Essa conquista é para vocês.Agradeço aos meus amigos do CRUSP, onde vivi momentos tristes e felizes, e onde conheci muitas pessoas que me ajudaram a ser feliz todos os dias. Meus agradecimentos especiais são para minha amiga Janeth Marlene e para meu irmão Johnny César, a companhia de ambos me fez sentir e ver que eu não estava sozinho. Muito obrigado a ambos pelo amor, companhia e amizade, e pelo que compartilhamos; refeições, risos, jogos e conversas ... coisas que fazem a vida valer a pena.Como não lembrar dos meus amigos que me acompanharam todos esses anos no IME, aqui é um momento importante para agradecer de forma especial a sua amizade e companhia; a Diego (Chupito), Carlos (Charly), Daniel (Danielito) e Pablo (Pablito). Obrigado pelos risos e conversas que fizeram sentir me em boa companhia.Agradeço ao IME (Instituto de Matemática e Estatística) por todo o apoio, especialmente aos professores e administrativos, por me oferecer um bom ambiente de trabalho. Este trabalho consiste de três partes: "Teoremas de coordenatização de Wedderburn e de Zorn", "O problema de Nathan Jacobson" e "Teoremas de Fatorização de Kronecker para as superálgebras alternativas". Na primeira parte apresentamos os teoremas de coordenatização de Wedderburn e de Zorn e suas aplicações na teoria de representações das álgebras associativas e alternativas.Na segunda parte resolvemos um problema de longa data que foi anunciado por Nathan Jacobson sobre a descrição das álgebras alternativas que contém M 2 (F ) (álgebra associativa de matrizes 2 × 2) com o mesmo elemento identidade.Na terceira parte damos uma prova independente que é válida em qualquer característica do clássico Teorema de Fatorização de Kronecker de Nathan Jacobson. Generalizamos esse resultado e provamos um teorema de Fatorização de Kronecker para as superálgebras alternativas cuja parte par contém O com o mesmo elemento identidade. Além disso, provamos um Teorema de Fatorização de Kronecker para as superálgebras alternativas que contêm a superálgebra associativa M (1|1) (F ) com o mesmo elemento identidade. Como Corolário desse resultado, respondemos a um análogo do problema de Jacobson para as superálgebras alternativas, isto é, descrevemos as superálgebras alternativas que contêm à superálg...