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Let M be a topological space that admits a free involution τ , and let N be a topological space. A homotopy class β ∈ [M, N ] is said to have the Borsuk-Ulam property with respect to τ if for every representative map f : M → N of β, there exists a point x ∈ M such that f (τ (x)) = f (x). In this paper, we determine the homotopy classes of maps from the 2-torus T 2 to the Klein bottle K 2 that possess the Borsuk-Ulam property with respect to a free involution τ 1 of T 2 for which the orbit space is T 2 . Our results are given in terms of a certain family of homomorphisms involving the fundamental groups of T 2 and K 2 .

No caso em que N = S 2 , para cada superfície M e involução τ : M → M , nós classicamos os elementos β ∈ [M ; S 2 ] que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classicação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia β ∈ [M ; RP 2 ], classicamos aquelas que se levantam para S 2. No nal, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de Z p , com p um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se M e N são superfícies fechadas e Z p age livremente em M, com p = 2, então sempre existe uma função f : M → N homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora.

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