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Loi de Weyl presque sûre pour un Système Différentiel en Dimension 1William Bordeaux Montrieux Résumé. Nous considérons une classe assez générale de systèmes différentiels sur le cercle avec une perturbation aléatoire d'ordre inférieur. Nous adoptons deux points de vue, semiclassique et haute fréquence. Nous montrons (a) que dans la limite h → 0, les valeurs propres se distribuent selon une loi de Weyl avec une probabilité très proche de 1, (b) que les grandes valeurs propres se distribuent presque sûrement selon une loi de Weyl.Abstract. We consider quite general differential operators on the circle with a small random lower order perturbation. We embrace two points a view, the semiclassical and the high energy limits. We show (a) in the semiclassical limit, that the eigenvalues inside a subdomain of the pseudospectrum are distributed according to a Weyl law with a probability close to 1, (b) that the large eigenvalues obey a Weyl law almost surely.Vol. 12 (2011) Loi de Weyl presque sûre pour un Système Différentiel

Nous considérons un opérateur h-pseudodifférentiel non-autoadjoint dans la limite semiclassique. p désigne le symbole principal. Nous savons que la résolvante existe à l'intérieur de l'image de p jusqu'à une distance O((h), de certains points du bord, où k ∈ {2, 4, . . .}. Dans ce travail, nous précisons les estimations de résolvantes qu'ont obtenues différents auteurs dans le cas k = 2, et en dimension 1. Pour la preuve, il s'agit de construire, via un scaling, des quasimodes pour des valeurs du paramètre spectral très proches du bord de l'image de p.