В работе исследуется экстремальная задача комбинаторного анализа об отыскании минимально возможного количества ребер в n-однородном гиперграфе с хроматическим числом больше r и обхватом больше s. Получена новая нижняя оценка подобной экстремальной величины, а также ряд смежных результатов. Работа выполнена при поддержке Программы поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-2964.2014.1) и гранта Президента РФ MK-692.2014.1. Ключевые слова: гиперграф, раскраски гиперграфов, разреженные гиперграфы, метод случайной перекраски, обхват гиперграфа.