Экстремальные задачи для раскрасок равномерных гиперграфовИсследуется классическая задача экстремальной теории гиперграфов, впервые поставленная П. Эрдешем. Согласно определению Эрдеша гипер-граф обладает свойством B, если существует такая двухцветная раскрас-ка множества его вершин, в которой все ребра гиперграфа многоцветны. Задача состоит в нахождении величины m(n), равной минимуму из всех таких m, для которых существует n-равномерный (каждое ребро содер-жит ровно n вершин) гиперграф, имеющий в точности m ребер и не об-ладающий свойством B. Рассмотрены более общие постановки проблемы, в том числе в случае многоцветных раскрасок, и введен ряд параметриче-ских свойств для гиперграфов. Получены оценки экстремальных величин, определенных на различных классах гиперграфов и являющихся анало-гами величины m(n).Библиография: 14 наименований.

Экстремальные задачи, посвященные раскраскам гиперграфов, впервые возникли в связи с классическими работами 20-30-х годов XX века, положившими начало теории Рамсея. С тех пор данная область исследований занимает одно из центральных мест в экстремальной комбинаторике. Настоящий обзор посвящен одной известной задаче о раскраске гиперграфа-задаче Эрдеша-Хайнала, впервые поставленной в 1961 г. Из этой проблемы выросло целое направление в теории гиперграфов, результаты и методы которого находят широкое применение в различных областях дискретной математики. Библиография: 109 названий.

О существовании полноцветных раскрасок для равномерных гиперграфов Рассматривается известная экстремальная задача о полноцветных раскрасках гиперграфов. Раскраска в r цветов множества вершин гиперграфа называется полноцветной, если в ней каждое ребро содержит вершины всех цветов. Изучается величина p(n, r), равная минимально возможному количеству ребер в n-равномерном гиперграфе, для которого не существует полноцветной r-раскраски. Получены новые нижние и верхние оценки величины p(n, r), улучшающие предыдущие результаты при многих соотношениях между параметрами n и r. Кроме того, получено достаточное условие существования полноцветной r-раскраски у n-равномерного гиперграфа. Библиография: 18 названий.

Рассматривается классическая задача комбинаторной теории чисел о нахождении функции Ван дер Вардена W (n, r). При помощи метода случайной раскраски гиперграфов получена новая асимптотическая оценка снизу для W (n, r), которая улучшает предыдущие результаты в широкой области значений параметров n и r. Библиография: 16 наименований. Ключевые слова: теорема Ван дер Вардена, арифметические прогрессии, гиперграф, хроматическое число.

В работе исследуется асимптотическое поведение общих чисел независимости случайных гиперграфов в биномиальной модели. Доказано, что в определенной области изменения параметров имеет место предельная концентрация числа независимости в двух соседних значениях.