We study ћ expansion of the KP hierarchy following Takasaki-Takebe [1] considering several examples of matrix model τ-functions with natural genus expansion. Among the examples there are solutions of KP equations of special interest, such as generating function for simple Hurwitz numbers, Hermitian matrix model, Kontsevich model and Brezin-Gross-Witten model. We show that all these models with parameter ћ are τ-functions of the ћ-KP hierarchy and the expansion in ћ for the ћ-KP coincides with the genus expansion for these models. Furthermore, we show a connection of recent papers considering the ћ-formulation of the KP hierarchy [2, 3] with original Takasaki-Takebe approach. We find that in this approach the recovery of enumerative geometric meaning of τ-functions is straightforward and algorithmic.

Рассмотрены репараметризационно-инвариантные лагранжевы системы с высшими производными. Описаны геометрические структуры, появляющиеся в этих теориях, и построен геометрический гамильтонов формализм. Приведена формула преобразования Лежандра для таких систем, которая отличается от обычной. Показано, что фазовое расслоение, т.е. образ преобразования Лежандра, являющееся подмногообразием некоторого кокасательного расслоения, всегда в данной конструкции нечетномерно. Вследствие этого канонически определенная симплектическая 2-форма из объемлющего кокасательного расслоения порождает на фазовом расслоении поле направлений, состоящее из векторов, на которых обращается в нуль ее ограничение. Доказано, что интегральные линии данного поля проецируются на экстремали действия на конфигурационном многообразии. Вышесказанное означает, что полученное поле является гамильтоновым полем. Обнаружено, что соответствующие уравнения Гамильтона записываются через обобщенную скобку Намбу. Ключевые слова: гамильтонов формализм, касательное расслоение высшего порядка, скобка Намбу, репараметризационная инвариантность.

No abstract