The paper deals with issues of the metric geometry basics. In particular, the concept of rectilinear placement of points is considered, based on the axioms of the distance between two points of metric space. This approach allows forming a modern view of the property of straightness in the pupils. This paper analyzes the content of existing mathematics textbooks for general educational institutions to acquaintance of pupils with the elements of metric geometry. The first part of the paper provides information about the rectilinear placement of points; it can be used in Geometry lessons in the 7th – 9th grades. Set of linear functions are considered as examples of points of metric space. The similar work was done in the second part of the work for geometric material of the 10th – 11th grades. In addition, some simple examples of metric spaces that may be accessible to pupils of the relevant classes are discussed. The purpose of the work is gradually introduction of pupils to the elements of non-Euclidean geometries, to form a generalized notion of the distance between the points and rectilinear of their placement. The work can be used for Mathematics teaching at school and for retraining of teachers of Mathematics.

The paper considers the issues of studying method of geometric properties of metric spaces. These questions arise when students learn the basic concepts of the metric spaces theory. Difficulty in the concepts understanding arises due to the lack of the geometric interpretation or appropriate visualization. To build a geometric interpretation of rectilinear and flat placement of points of metric space, it is proposed to build the appropriate analogues in two-dimensional and three-dimensional arithmetic Euclidean spaces. To visualize these concepts, it is proposed to use a dynamic geometric environment GeoGebra 3D. This approach allows to demonstrate both the similarity of individual geometric concepts of metric space with the corresponding concepts of Euclidean geometry, and cases of the “non-Euclidean”. The study is useful for teachers and students of higher education institutions majoring in physics and mathematics. Some examples can be used in the study of basic geometric concepts by students of secondary education, in-depth study of mathematics and in various types of informal education.

Робота полягає у вивченню можливості застосування засобів метричної геометрії для формування основних геометричних понять при вивченні геометрії у закладах середньої освіти. Використання метричної геометрії відкриває шлях до знайомства учнів з елементами неевклідових геометрій як на інтуїтивному, так і на аксіоматичному рівнях. У роботі, на основі означення числової характеристики кута утвореного трьома точками метричного простору, дано альтернативне означення прямолінійного розміщення точок. За допомогою числової характеристики легко отримуються означення прямого та розгорнутого кутів. Наведений у роботі матеріал можна використовувати на уроках геометрії починаючи з 9-го класу, та у позакласній роботі з учнями які навчаються у класах з поглибленим вивченням математики. Формулювання проблеми. Матеріал даної роботи стосується, у основному, викладання математики у класах з поглибленим вивченням математики. Сучасний стан математичної освіти ставить питання про необхідність ознайомлення учнів з основними поняттями та фактами неевклідових геометрій. Зробити це безпосередньо звертаючись до фактичного матеріалу таких геометрій досить складно, зважаючи на значний рівень його формалізації. У даній роботі, для вирішення цього питання автори пропонують використати засоби метричної геометрії, як найбільш наближеної до шкільного курсу геометрії. Пропонується розпочати цю роботу з формування узагальнених основних геометричних понять та об’єктів, таких як точка, кут, прямолінійне розміщення точок. Матеріали і методи. Результати роботи отримані на підставі аналізу діючих підручників з математики для класів з поглибленим її вивченням, підручників з геометрії та математичного аналізу закладів вищої освіти, наукових публікацій та апробовані при читанні відповідного спецкурсу студентам спеціальності «014.04 Середня освіта (Математика)» магістерського рівня вищої освіти. Результати. На основі запропонованого означення кута як упорядкованої трійки точок отримані аналоги класичних геометричних співвідношень. Ці аналоги допускають демонстрацію елементів неевклідових геометрій засобами елементарної геометрії. Висновки. Аналітичний апарат метричної геометрії дає можливість сформувати узагальнене розуміння основних геометричних понять, таких як точка, кут, відстань між точками, прямолінійне розміщення точок.

АНОТАЦІЯ У роботі представлено концепцію формування понять точки, відстані між точками та прямолінійного розміщення точок, з використанням елементів метричної геометрії, у здобувачів базової середньої освіти на уроках геометрії та у позакласній роботі з математики. Формулювання проблеми. У сучасному шкільному курсі геометрії для базової школи фактично відсутні відомості про елементи неевклідових геометрій. У діючих підручниках з геометрії, навіть з поглибленим вивченням математики, про геометрію Лобачевського згадують лише у історичному аспекті. Зрозуміло, що це пов'язано зі значним рівнем складності та формалізації основ цієї геометрії. У даній роботі пропонується певний підхід до вирішення цього питання на базі використання елементів метричної геометрії, як такої, що найтісніше пов'язана зі шкільним курсом геометрії. Цей підхід дозволяє без особливих складнощів розпочати формування основних геометричних понять неевклідових геометрій (таких як відстань, прямолінійність) ще у сьомому класі базової школи. На наш погляд, таке формування слід проводити у класах з поглибленим вивченням математики, як на уроках геометрії, так і на заняттях гуртків та факультативів з математики. Відповідний матеріал може бути предметом учнівських досліджень та творчих робіт з геометрії. Матеріали і методи. Основні результати роботи отримані з використанням методів метричної геометрії. При формуванні поняття прямолінійності використано поняття прямолінійного розміщення точок, розглянуте В.Ф. Каганом. Результати роботи були апробовані при читанні відповідного спецкурсу для здобувачів освітнього рівня «Магістр», за спеціальністю «014 Середня освіта (Математика)», у Херсонському державному університеті. Результати. У роботі отримані конкретні приклади використання елементів неевклідових геометрій на уроках геометрії у базовій школі. Наведені відповідні формулювання понять відстані та прямолінійного розміщення точок, які демонструють неоднозначність їхнього інтуїтивного сприйняття. Вказані конкретні теми з геометрії, при вивченні яких ці формулювання та приклади можна використовувати, з метою формування поняття точки, відстані між точками, прямолінійності розміщення точок. Висновки. З результатів роботи випливає висновок про те, що формування основних понять неевклідових геометрій можна розпочати з сьомого класу базової школи, використовуючи при цьому елементи метричної геометрії. Це дасть можливість у старших класах, на цій же основі, сформувати поняття плоского розміщення точок. Таким підходом може бути вирішене питання адекватного сприйняття учнями основних положень неевклідових геометрій. КЛЮЧОВІ СЛОВА: точка, відстань, пряма лінія, прямолінійне розміщення точок, шкільний курс геометрії. ВСТУП Постановка проблеми. Розглянута у роботі проблема полягає у способах введення у шкільний курс геометрії базової школи, та у різні види неформальної освіти з математики, узагальнених понять точки, відстані між точками та прямолінійності, з метою формування на їхній основі понять про неевклідові геометрії. ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВІТА (ФМО) випуск 2(24...