Функция от $n$ переменных над полем $\mathbf {F}_q$ из $q$ элементов называется максимально нелинейной, если она обладает наибольшей нелинейностью среди всех $q$-значных функций от $n$ переменных. Доказано, что при четном $n \ge 2$ функция является максимально нелинейной тогда и только тогда, кода ее нелинейность равна $q^{n-1}(q - 1) - q^{\frac n2-1}$, а при $n=1$ в качестве критерия выступает значение нелинейности $q-2$. Для $q>2$ и четного $n \ge 2$ описаны все максимально нелинейные квадратичные функции и найдено их число. При этом все максимально нелинейные квадратичные функции являются квадратичными бент-функциями и составляют менее половины последних.

Для конечного поля $\mathbf{F}_q$ из $q$ элементов установлена связь между параметрами, задающими меру приближения функции $q$-значной логики аффинными отображениями, и аналогичными параметрами для ее ограничений на линейные многообразия. При $q>2$ доказан аналог равенства Парсеваля относительно данных параметров, из которого следуют содержательные верхние оценки нелинейности функции $q$-значной логики от $n$ переменных и ее ограничений на многообразия размерности $r$, равные $q^{n-1}(q - 1) - q^{n/2-1}$ и $q^{r-1}(q - 1) - q^{r/2-1}$ соответственно. Получены оценки, характеризующие распределение нелинейности на многообразиях фиксированной размерности.

Функция от $n$ переменных над полем из $q$ элементов называется максимально нелинейной, если она обладает наибольшей нелинейностью среди всех таких функций. Получены критерии и необходимые условия максимальной нелинейности. Из них следует, что при четных значениях $n$ максимально нелинейные функции является бент-функциями, однако при $q>2$ известные семейства бент-функций не являются максимально-нелинейными. Для произвольного конечного поля найдена связь расстояний Хэмминга от функции до всех аффинных отображений со спектрами Фурье нетривиальных характеров функции.

Нелинейность и аддитивная нелинейность функции определяются как расстояния Хэмминга до множества всех аффинных отображений и множества всех отображений, имеющих нетривиальные аддитивные трансляторы, соответственно. На основе выявленной связи параметров нелинейности с коэффициентами Фурье характеров функции найдены удобные формулы для вычисления нелинейности для практически значимых классов функций над произвольным конечным полем. В случае поля четной характеристики в терминах коэффициентов автокорреляции получены аналогичные результаты для аддитивной нелинейности. Полученные формулы позволили определить конкретные классы функций с максимально возможной и высокой нелинейностью и аддитивной нелинейностью.

Мера близости векторных функций определяется через расстояние Хэмминга в пространстве их значений, при этом нелинейность векторной функции определяется как расстояние Хэмминга до множества аффинных отображений. Получены границы и оценки распределения нелинейности сбалансированных отображений и подстановок. Построены классы векторных функций с высокой нелинейностью. Введенная таким образом нелинейность сравнивается с нелинейностью, которая определяется как минимальная среди нелинейностей всех нетривиальных линейных комбинаций координатных функций.