No abstract

Развит прямой метод - метод матриц Коши - для построения матричных решений некоммутативных солитонных уравнений. Метод основан на уравнении Сильвестра, при этом решения представлены без использования квазидетерминантов. В качестве примера, демонстрирующего метод, используется матричное уравнение Кадомцева-Петвиашвили с самосогласованными источниками. С помощью редукции получены явные решения матричной модели Мельникова для длинно-коротковолнового взаимодействия.

Получены преобразования Дарбу и связанные с ними формулы Крама для двух разностных уравнений типа уравнения Шредингера, которые сами являются дискретными версиями спектральных задач для уравнений КдФ и модифицированных уравнений КдФ. Если рассматривать преобразования Дарбу как процесс дискретизации, то возникают классы полудискретных и полностью дискретных систем уравнений типа КдФ, включая решеточные версии потенцированного уравнения КдФ, потенцированного модифицированного уравнения КдФ и уравнения КдФ с шварцианом, как условия совместности дифференциальных/разностных спектральных задач и их преобразований Дарбу. Признаки интегрируемости фундаментальных решеточных моделей, такие как пара Лакса, многомерная совместность, $\tau$-функции и солитонные решения, можно легко получить в результате непосредственного применения дискретных формул Крама.

No abstract