Предложен элементарный подход с позиций гармонического анализа к феномену сокращающих и слабо сокращающих дифференциальных операторов, позволяющий распространить эти понятия на анизотропную ситуацию, а также заменить дифференциальные операторы мультипликаторами Фурье более общего вида с малыми требованиями гладкости. В такой более общей постановке с анизотропно однородными мультипликаторами Фурье доказаны неравенство $\|f\|_{L_\infty } \lesssim \|Af\|_{L_1}$ в случае, когда $A$ - слабо сокращающий оператор порядка $d$, и неравенство $\|f\|_{L_2} \lesssim \|Af\|_{L_1}$, где $A$ - сокращающий оператор порядка $d/2$; здесь $f$ - функция $d$ переменных.

Пусть $\mathcal{W}$ - замкнутое инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное подпространство класса $\mathbb{R}^\ell$-значных обобщенных функций умеренного роста $d$ переменных. Работа посвящена доказательству следующего результата: если пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, где $\delta_0$ - дельта Дирака, то для всякой функции $f\in\mathcal{W}\cap L_1$ верно неравенство $$ \|\operatorname{I}_\alpha [f]\|_{L_{d/(d-\alpha),1}}\lesssim \|f\|_{L_1}, $$ причем константа в нем не зависит от функции $f$; $\operatorname{I}_\alpha$ обозначает потенциал Рисса порядка $\alpha$, а $L_{p,1}$ - пространство Лоренца. Частными случаями этого результата являются неравенство $$ \|\nabla^{m-1} f\|_{L_{d/(d-1),1}} \lesssim \|A f\|_{L_1}, $$ где $A$ - сокращающий эллиптичный дифференциальный оператор порядка $m$, и неравенство $$ \|\operatorname{I}_\alpha f\|_{L_{d/(d-\alpha),1}} \lesssim \|f\|_{L_1}, $$ где $f$ - соленоидальное векторное поле. Библиография: 59 названий.

No abstract