Общероссийский математический портал М. Санига, М. Плана, Проективная прямая над конечным фактор-кольцом GF (2)[x]/ x 3 − x и квантовое зацепление.

No abstract

Проективная прямая над конечным фактор-кольцом GF (2)[x]/ x 3 − x и квантовое зацепление. "Магические" квадрат и пента

ПРОЕКТИВНЫЕ КРИВЫЕ НАД КОЛЬЦОМ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ В СЕБЯ ДВА-КУБИТЫНайдено, что проективная прямая над (некоммутативным) кольцом мат-риц размера 2 × 2 с коэффициентами в группе GF (2) полностью включает в себя алгебру 15 операторов (обобщенных матриц Паули), задающую систему два-кубитов. Соответствующая подконфигурация состоит из 15 точек, каждая из которых одновременно оказывается или удаленной, или соседней по отноше-нию к двум (произвольно заданным) удаленным точкам проективной прямой. Операторы можно отождествить с точками таким однозначным образом, чтобы их коммутационные соотношения в точности воспроизводились бы соответству-ющей геометрией точек; при этом геометрические отношения соседства и уда-ленности отвечают соответственно операторным отношениям коммутативности и некоммутативности. Эту примечательную конфигурацию можно рассматри-вать двумя принципиально разными способами, основанными соответственно на базисных 9 + 6 и 10 + 5 факторизациях алгебры наблюдаемых. Во-первых, эта конфигурация представляет собой объединение взаимно несвязных проек-тивной прямой над GF (2) × GF (2) ("мерминовская" составляющая) и двух ли-ний над GF (4), проходящих через две выбранные точки, которые мы опустим. Во-вторых, она оказывается обобщенным четырехугольником порядка два, ово-иды и/или растяжки которого отвечают соответственно (максимальным) набо-рам пяти взаимно некоммутирующих операторов и/или группам из пяти мак-симальных подмножеств коммутирующих операторов, каждое из которых со-держит три оператора. Это наблюдение открывает неожиданные возможности для алгебро-геометрического моделирования конечномерных квантовых систем и совершенно новые перспективы для их многообразных применений.Ключевые слова: проективные прямые над кольцом, обобщенный четырехугольник порядка два, два-кубит.В последнее время сформировалось понимание того, что проективные прямые, за-данные над конечными ассоциативными кольцами с единицей [1]- [7], представляют