Изучается установившееся ползущее конвективное течение вязкой несжимаемой жидкости в тонком бесконечном слое. Исследование течения жидкости основано на использовании класса точных решений для уравнений Обербека - Буссинеска в приближении Стокса. Поле скоростей описывается точным решением Хименца. Поле температуры и поле давление линейно зависят от горизонтальной (продольной) координаты, что соответствует классу точных решений Остроумова - Бириха. Конвективное движение вязкой несжимаемой жидкости индуцировалось касательными напряжениями на верхней проницаемой (пористой) границе и заданием теплового источника на нижней границе. Кроме того, на верхней границе учитывался теплообмен по закону Ньютона - Рихмана. Полученные точные решения описывают противотечения в жидкости, у которых количество застойных точек не превышает трех. Формирование противотечений в жидкости сопровождается отсосом (sucking) и вдувом (injection) жидкости через проницаемую границу. Наличие большего числа застойных точек формирует ячеистую структуру линий тока. Кроме того, поле скоростей, полученное при решении краевой задачи, характеризуется локализацией течения вблизи границ слоя жидкости (пограничный слой). Полученные в статье точные решения могут использоваться для решения нелинейной системы Обербека - Буссинеска. Показано, что при линеаризации системы Обербека - Буссинеска число Грасгофа может принимать большие значения, зависящие от показателя геометрической анизотропии.

Рассмотрены плоские нестационарные течения вязкой несжимаемой жидкости в потенциальном поле внешних сил. Получено уравнение в частных производных эллиптического типа, каждое решение которого является функцией тока вихревого течения, описываемого некоторым точным решением уравнений Навье--Стокса. Полученные решения обобщают течения Бельтрами--Тркала и Беллаба. Даны примеры таких новых решений. Они предназначены для верификации численных алгоритмов и компьютерных программ.

Приведен новый класс точных решений уравнений Навье-Стокса. Эти решения описывают нестационарные трехмерные по скоростям и двумерные по координатам течения вязкой несжимаемой жидкости. Процедура построения точного решения обобщает метод Тркала, предложенный для изучения винтовых течений. Новый класс точных решений позволяет описывать невинтовые течения (вектор скорости образует ненулевой угол с вектором завихренности) и течения жидкости, существующие конечное время.