No abstract

Работа посвящена изучению глобальных аттракторов абстрактных полулинейных параболических уравнений и их вложений в конечномерные многообразия. Как известно, достаточным условием существования гладких (как минимум, гладкости C 1) инерциальных многообразий конечной размерности, содержащих глобальный аттрактор, является так называемое условие щели в спектре для соответствующего линейного оператора. Также имеется ряд примеров, показывающих, что если щель в спектре отсутствует, то C 1-гладкого инерциального многообразия может и не быть. С другой стороны, так как аттрактор обычно имеет конечную фрактальную размерность, то, согласно теореме Мане, он проектируется взаимно однозначно и Гёльдер-гомеоморфно в конечномерную плоскость общего положения, если ее размерность достаточно велика. В настоящей работе показано, что при отсутствии щели в спектре существуют аттракторы, которые нельзя вложить ни в какое липшицево или даже лог-липшицево конечномерное многообразие. Таким образом, если щель в спектре отсутствует, то в общем случае нельзя ожидать липшицевости или лог-липшицевости обратной проекции Мане аттрактора. Кроме того, в классе нелинейностей конечной гладкости построены примеры аттракторов с конечной хаусдорфовой и бесконечной фрактальной размерностью. Библиография: 35 названий.

Предложен общий метод нахождения точных постоянных во вложениях пространств Соболева H m (M ), определенных на n-мерном римановом многообразии M , в пространство ограниченных непрерывных функций при m > n/2. Метод основан на анализе асимптотического поведения по отношению к спектральному параметру функции Грина эллиптического оператора порядка 2m, область определения квадратного корня из которого определяет норму соответствующего пространства Соболева. Подробно рассматриваются n-мерный тор T n и n-мерная сфера S n , а также некоторые многообразия с границей. В определенных случаях, когда M компактно, получены мультипликативные неравенства с остаточными членами различного вида (корректорами). Из неравенств с корректорами для периодических функций выводятся неравенства, улучшающие известные неравенства Карлсона.Библиография: 28 названий.Ключевые слова: неравенства Соболева, интерполяционные неравенства, функции Грина, точные постоянные, неравенство Карлсона.