Контрпримеры К Регулярности Проекций Мане В Теории Аттракторов

Abstract

Работа посвящена изучению глобальных аттракторов абстрактных полулинейных параболических уравнений и их вложений в конечномерные многообразия. Как известно, достаточным условием существования гладких (как минимум, гладкости C 1) инерциальных многообразий конечной размерности, содержащих глобальный аттрактор, является так называемое условие щели в спектре для соответствующего линейного оператора. Также имеется ряд примеров, показывающих, что если щель в спектре отсутствует, то C 1-гладкого инерциального многообразия может и не быть. С другой стороны, так как аттрактор обычно имеет конечную фрактальную размерность, то, согласно теореме Мане, он проектируется взаимно однозначно и Гёльдер-гомеоморфно в конечномерную плоскость общего положения, если ее размерность достаточно велика. В настоящей работе показано, что при отсутствии щели в спектре существуют аттракторы, которые нельзя вложить ни в какое липшицево или даже лог-липшицево конечномерное многообразие. Таким образом, если щель в спектре отсутствует, то в общем случае нельзя ожидать липшицевости или лог-липшицевости обратной проекции Мане аттрактора. Кроме того, в классе нелинейностей конечной гладкости построены примеры аттракторов с конечной хаусдорфовой и бесконечной фрактальной размерностью. Библиография: 35 названий.

Параболическое Уравнение С Нелокальной Диффузией Без Гладкого Инерциального Многообразия

“…На основе модификации леммы 1 в недавних рабо-тах [9], [13] получена общая конструкция абстрактного уравнения (1.1) с нелинейной компонентой ∈ ∞ и показателем нелинейности = 0 без гладкого инерциального многообразия. Там же с помощью других (более деликатных) соображений постро-ено уравнение вида (1.1) с ∈ ∞ , не допускающее даже липшицева инерциального многообразия.…”

“…Эти результаты, по-видимому, могут быть обобщены на общий слу-чай показателя нелинейности ∈ [0, 1). Контрпримеры [9], [12], [13] не слишком естественны, хотелось бы предъявить какое-либо физически значимое полулиней-ное параболическое уравнение, не обладающее свойством асимптотической конеч-номерности. Эта задача решается ниже.…”