Предлагается нелинейная модель эволюции случайных полей, основанная на аппроксимации кусочно-линейными дифференциальными уравнениями в частных производных со стохастическими граничными условиями. Ключевые слова и фразы: обобщенные случайные поля, нелинейное эволю ционное уравнение, стохастические граничные условия, Соболевские суперпро странства.We have in mind a generalized random field № = {&, «*)). vec 0°°( G)} in a region G С B. d such that, with time t £ R 1 going, its evolution goes according to non-linear stochastic differential equation dt(t) = A(t,e i )dt+B[t,e i )dri(t)where drift and diffusion operators A(t, £*), £')) depend on a whole «past» = {£(*). s < so (f, «*)) = iV, №o)) + J* (v>, A(a,V)) ds+J* B(s,e)dr,(s)), t > *o, (2) for all test functions ip £ CQ°(G). A problem is on stochastic boundary conditions for the corresponding random field £ = |^(*), * £ over a space-time cylinder G x I, I = (£ 0 ,t*)i which determine £ £ W(G x /) as a unique solution from an appropriate functional class W(G x /). Suppose, the evolution goes in a such way that approximately we have d£{t) = A£(t) dt + B dn(t) (3) on any sufficiently small time interval /д": s < t < s + As, where А, В are appropriate linear operators, depending on the past f * up to a «current» time moment s. Then, we can approach the boundary problem by means of a piecewise linear approximation for f, taking a partition to < , 4) d = У (в*ч>{-Л Mt)), v e CS°(G x /д< ; .)} (4) as a generalized random field which is meansquare continuous over test functions

A similar result holds, of course, when we replace x(T) + y(T) = 0 by x(T) -y(T) = 0. We want to prove the claim by using that observation. To do that we need to show that this situation happens a.s. with respect to the process {B(t) y Y(t)): 0 ^ t ^ 1}. Indeed, we haveThe zero-set of namely the set {0 ^ t ^ 1: X+(t)X-(t) = 0}, behaves like the zero-set of a Brownian motion (see [2, p. 392], for the latter). From this we conclude that if a zero is isolated on the right then it is a limit of increasing zeros from the left. Also, every neighborhood of T(B, Y) contains (on the left of T) both negative and positive values of B(t) -Y(t) or of B(t) + Y(t). This proves the claim.To finish the proof of Theorem 1 we combine the claim that was just proved and Lemma 2 and we get by standard weak convergence arguments that:where the convergence is in distribution on the space Co It follows now from Lemma 1 that Z n -+ B* and by (27) we finally get В = В* in distribution. This completes the proof of Theorem 1.Acknowledgments. Thanks to S. Chobanyan who introduced me to this subject. Also thanks to A. V. Skorohod for a private communication and to M. Ryznar for some discussions on the subject. REFERENCES

No abstract

No abstract

О методе для оценивания средних значений 459 явном виде (из гиперболического уравнения четвертого порядка), и что оно обладает относительно простой формой. Читатель может легко переписать результат (4.2) в исходных переменных (г, у), в которых эквивероятностные кривые есть х = ±«, у = ±v, 0 ^ v < (ct/2). Авторы признательны рецензенту за квалифицированные замечания, позволив шие внести улучшения в первоначальный вариант статьи. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Orsingher Е. A planar random motion governed by the two-dimensional telegraph equation. -J. Appl. Probab., 1986, v. 23, p. 385-397. 2. Колесник А. Д. Об одной модели марковской случайной эволюции на плоско сти. -Аналитические методы исследования эволюции стохастических систем. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1989, с. 55-61. 3. Колесник А. Д., Турбин А. Ф. Симметричные марковские случайные эволюции на плоскости. Препринт 90.12. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1990, 39 с. 4. Колесник А. Д., Турбин А. Ф. Симметричные случайные эволюции в R 2 . -Докл. АН Украины, 1990, № 2, с. 10-11. 5. Колесник А. Д., Турбин А. Ф. Инфинитезимальный гиперболический оператор марковских случайных эволюции в R". -Докл. АН Украины, 1991, № 1, с. 11-14. 6. Orsingher Е. Probability law, flow function, maximum distribution of wave-governed random motions and their'connections with Kirchoff's laws. -Stoch. Process. Appl., 1990, v. 34, p. 49-66. 7. Kac M. A stochastic model related to the telegrapher's equation. -Rocky Mount. J. Math., 1974, v. 4, p. 497-509. Поступила в редакцию 22.IV.1994 © 1996 г. РОЗАНОВ К). А.* О МЕТОДЕ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ 1 ) Рассматриваются так называемые псевдо-наилучшие оценки среднего, при менимые к общим бесконечномерным моделям. Устанавливаются свойства несме щенности, состоятельности, асимптотической эффективности. Ключевые слова и фразы: псевдо-наилучшие оценки, несмещенные, состоя тельные, асимптотически эффективные оценки. Метод гильбертова (евклидова) пространства для оценивания средних значений в его наиболее классическом варианте дает известные оценки наименьших квадра тов, различные обобщения которых занимают важное место в приложениях мате матической статистики. Одним из таких обобщений были так называемые псевдо-*Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, ул. Вавилова, 42, 117966 Москва, ГСП-1, Россия; CNR-IAMI, Milan, Italy. ^Работа выполнена при поддержке CNR-IAMI (Милан) и Международного на учного фонда, грант № JF9100. Обратимся к другой, традиционной для математической статистики асимпто тической схеме, рассматривая расширяющиеся семейства случайных величин (1) с соответствующими X = Х п , п =1, 2,..., выбранными как расширяющиеся гильбер товы пространства Xi C--CA-"C.Y n+ , С • • • . Введем предгильбертово пространство Хоо = Х п п и его пополнение Будем считать, что совокупность 0 возможных средних значений в = (х, 0) = Е»(х, £), х £Х ТО , является линейной и замкнутой относительно слабой сходимости: предел lim (х, в п ) = (х, в*), хЕХоо, п-.оо для 0" € 0 определяет элемент 9* £ 0. 8 Теория вероятностей и ее ...