Оглавление 12 (O ) = 2 + 2 − 2 b 1 ( , ) + b 2 ( , ).(1.2.2)
Конус кривыхПусть -нормальное проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем k (произвольной характеристики). Мы будем придерживаться следующих стандартных обозначений:• Z 1 ( ) -группа 1-мерных циклов на , свободная абелева группа порожденная полными приведенными неприводимыми кривыми ⊂ . Для дивизора Картье ∈ Div( ) и неприводимой приведенной кривой пересечение · определяется следующим образом:По теореме Ходжа об индексе ее сигнатура равна (1, ρ( ) − 1). В пространстве N 1 ( ) рассмотрим выпуклый конус NE( ), порожденный всеми эффективными 1-циклами. Обозначим через NE( ) его замыкание. Таким образом, NE( ) -замкнутый выпуклый конус в конечномерном вещественном пространстве N 1 ( ). Он называется конусом Мори. Более того, NE( ) порождает N 1 ( ). Отметим однако, что элементы NE( ) необязательно представляются эффективными 1-циклами и необязательно имеют рациональные коэффициенты. Каждый дивизор Картье определяет линейную функцию на N 1 ( ).
Критерий обильностиКлеймана. Дивизор Картье обилен тогда и только тогда, когда он определяет строго положительную функцию на NE( ) ∖ {0}. 2.2.1. Следствие. Конус NE( ) не содержит прямых. Отметим, что для обильности дивизора недостаточно условия положительности · для всех кривых ⊂ . Это связано с тем, что элементы границы конуса Мори NE( ) необязательно эффективны (т.е. являются выпуклыми линейными комбинациями кривых). Дивизор Картье называется численно эффективным, если · 0 для любой кривой ⊂ . Таким образом, численно эффективен, если он задает линейную функцию на N 1 ( ), которая принимает неотрицательные значения на конусе Мори NE( ). Луч = R + [z] ⊂ NE( ) называется экстремальным, если из того, что z 1 + z 2 ∈ , для некоторых элементов z 1 , z 2 ∈ NE( ), следует, что z 1 , z 2 ∈ . 2.3. Пример. Если ρ( ) = 2, то конус NE( ) -это угол на плоскости N 1 ( ) ≃ R 2 . В этом случае имеются ровно два экстремальных луча. 2.3.1. Лемма. Конус NE( ) порождается экстремальными лучами.Доказательство. Действительно, утверждение следует из общего факта выпуклой геометрии: любой замкнутый выпуклый конус ⊂ R , не содержащий прямых, порождается своими экстремальными лучами. Этот факт доказывается индукцией по размерности линейной оболочки конуса.
