A Poincaré–Birkhoff theorem for tight Reeb flows on $$S^3$$ S 3

Hryniewicz, Umberto L.; Momin, Al; Salomão, Pedro A. S.

doi:10.1007/s00222-014-0515-2

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“…A estratégia de utilizar o número de interseção generalizado para garantir a unicidade de superfícies de energia finita, como fizemos na demonstração da Proposição B.0.2, pode ser encontrada também na demonstração do Lema 4.4 de [38].…”

Section: Apêndice Bunclassified

Sistemas de seções transversais próximos a níveis críticos de sistemas Hamiltonianos em $\mathbb{R}^4$

Paulo¹

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A minha família, especialmente aos meus pais Silméia e Leônidas e ao meu irmão Arthur pela compreensão e pelas palavras de apoio e incentivo.Ao meu noivo Bruno pelo companheirismo, pela paciência e por me trazer alegria e otimismo até mesmo nos momentos mais difíceis.Ao meu orientador Pedro A. S. Salomão pela competência, pela dedicação, pela disponibilidade e por me apresentar umaárea tão próspera e fascinante da Matemática.Aos membros da comissão julgadora pelas sugestões, pelos elogios e pelo encorajamento.Aos meus professores da UNESP de Rio Claro, da UNICAMP e da USP que me conduziram até aqui com tanta estima.A minha amiga Moara que, mesmo a distância, me conforta com seus conselhos e seu carinho.Aos meus amigos da UNESP e da USP: Adriano, Luciano, Danillo, Diego, Danilo, Edson, Tatiane, Pricila, Gustavo e Dylene, Bruno, André, Anderson, Marcelo, Hector e Susana, Débora e Humberto, Oscar e Eliane, Juliano e Graciele, e todos aqueles que estiveram ao meu lado durante estes anos de estudo.A FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual não seria possível desenvolver esta pesquisa. Neste trabalho estudamos dinâmica Hamiltoniana em R 4 restrita a níveis de energia próximos a níveis críticos. Mais precisamente, consideramos uma função Hamiltoniana H : R 4 → R que possui um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro p c ∈ H −1 (0) e assumimos que p c pertence a um conjunto singular estritamente convexo S 0 ⊂ H −1 (0). Então, mostramos que os níveis de energia H −1 (E), com E > 0 suficientemente pequeno, contêm uma 3-bola fechada S E próxima a S 0 que admite um sistema de seções transversais F E , chamado folheação 2 − 3. F Eé uma folheação singular de S E com conjunto singular formado por duasórbitas periódicas P 2,E ⊂ ∂S E e P 3,E ⊂ S E \ ∂S E . Aórbita P 2,Eé hiperbólica dentro do nível de energia H −1 (E), pertenceà variedade central do sela-centro p c , temíndice de Conley-Zehnder 2 eé o limite assintótico de dois planos rígidos de F E que, unidos com P 2,E , constituem a 2-esfera ∂S E . Aórbita P 3,E temíndice de Conley-Zehnder 3 eé o limite assintótico de uma família a um parâmetro de planos de F E contida em S E \ ∂S E . Um cilindro rígido conectando asórbitas P 3,E e P 2,E completa a folheação F E . Uma vez que F Eé um sistema de seções transversais, todas as suas folhas regulares são transversais ao fluxo Hamiltoniano de H. Como consequência da existência de uma tal folheação em S E , concluímos que aórbita hiperbólica P 2,E admite pelo menos umaórbita homoclínica contida em S E \ ∂S E . Palavras-chave:Fluxos Hamiltonianos, conjuntos singulares estritamente convexos, pontos de equilíbrio do tipo sela-centro, curvas pseudo-holomorfas em simplectizações, sistema de seções transversais.iii In this work we study Hamiltonian dynamics in R 4 restricted to energy levels close to critical levels. More precisely, we consider a Hamiltonian function H : R 4 → R containing a saddle-center equilibrium point p c ∈ H −1 (0) and we assume that p c lies on a strictly convex singular set S 0 ⊂ H −1 (0). Then we prove that the en...

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Section: Apêndice Bunclassified

Sistemas de seções transversais próximos a níveis críticos de sistemas Hamiltonianos em $\mathbb{R}^4$

Paulo¹

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“…Seguindo [25] e [36], apresentamos o conceito de tubo de Martinet. Na definição a seguir, B r (0) ⊂ R 2é uma bola aberta de raio r > 0 centrada na origem e R/Z × B r (0) munido da forma de contato dz + xdy, onde z ∈ R/Z e (x, y) ∈ B.…”

Section: Campos De Reebunclassified

“…Definição 1.9 ( [25], Lema 3.2; [36], Definição 2.12). Seja P 0 = (x 0 , T 0 ) ∈ P(λ) umaórbita fechada de Reeb e T > 0 o período mínimo de x 0 .…”

Section: Campos De Reebunclassified

“…O argumento a seguiré uma adaptação da Seção 6.2 em [36]. Sejam Π : R/Z×R 2 → R 2 a projeção dada por Π(t, w) = w e Π * a projeção induzida no espaço tangente.…”

Section: )unclassified

“…de um conjunto deórbitas fechadas L que sabemos existir. Por exemplo, se em S 3 existe um link de Hopf L = L 0 ∪ L 1 , onde L 0 , L 1 sãoórbitas fechadas de Reeb, tal que os números de rotação transversal L 0 , L 1 satisfazem uma certa condição de não-ressonância, Hryniewicz, Momin e Salomão provam em [36], usando a homologia de contato cilíndrica no complementar de L, que existem infinitasórbitas fechadas de Reeb enlaçadas em L. Usando técnicas semelhantes, Momin prova em [45] que, para certos links L deórbitas fechadas, existem determinadas classes de homotopia de curvas fechadas no complementar de L que sempre possuem umaórbita fechada de Reeb. Nesta tese, apresentamos dois resultados de existência implicada deórbitas fechadas.…”

Section: Introductionunclassified

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Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existência implicada de órbitas periódicas e uma caracterização dinâmica do toro sólido.

Silva¹

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Sobre fluxos de Reeb tri-dimensionais: existência implicada deórbitas periódicas e uma caracterização dinâmica do toro sólido.Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 29/10/2014. Uma cópia da versão original está disponível noInstituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.Comissão Julgadora:• Prof. Dr. Pedro Antonio Santoro Salomão (orientador) -IME-USP• Prof. Dr. Clodoaldo Grotta Ragazzo -IME-USP• Prof. Dr. Salvador Addas Zanata -IME-USP• Prof. Dr. Leonardo de Magalhães Macarini -UFRJ• Prof. Dr. Joachin Weber -UNICAMP Dedico aos meus pais e a minha namorada Ariana. AgradecimentosA minha namorada Ariana, pelo apoio, incentivo, compreensão e, sobretudo, paciência durante estes quatro anos. As nossas conversas e a sua companhia foram fundamentais.Aos meus pais, Antonio e Ede, pelo encorajamento e palavras de apoio desde o início dos meus estudos. Sem esta base, eu não teria conseguido.Ao Professor Pedro Antonio Santoro Salomão, meu orientador, pela paciência com que sempre respondeu minhas dúvidas, mesmo as mais banais, pela disponibilidade e prestatividade, por apresentar umaárea tão interessante e motivadora e sugerir futuros problemas de pesquisa.Ao Professor Umberto Leone Hryniewicz, meu coorientador, pela hospitalidade durante a minha estada na UFRJ e sugestões de problemas para o doutorado e pesquisas posteriores. Neste trabalho, estudamos a dinâmica de Reeb associada a uma forma de contato λ definida numa 3-variedade compacta e conexa M . Assumimos que λé tight e a estrutura de contato ξ = ker λ satisfaz c 1 π 2 (M ) (ξ) ≡ 0. No nosso primeiro resultado, supomos que Mé fechada. Se existe umaórbita fechada L do fluxo de Reeb queé um p-nó trivial, p ∈ Z * + , cujos números de auto-enlaçamento e de rotação transversal satisfazem, respectivamente, sl(L) = − 1 p e ρ(L p ) < 1, provamos que existe umaórbita fechada contrátil P geometricamente distinta de L e não-enlaçada em L satisfazendo ρ(P ) = 1. Apresentamos também uma versão deste resultado para o caso em que Mé uma 3-variedade cujo bordoé difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb e não existemórbitas fechadas contidas no bordo. Nosso segundo resultadoé uma caracterização dinâmica do toro sólido. Seja λ uma forma de contato não-degenerada definida em uma 3-variedade M cujo bordoé difeomorfo a um toro e invariante pelo fluxo de Reeb. Se o fluxo de Reeb satisfaz certas hipóteses de torção sobre o bordo, provamos que ou existe umá orbita fechada contrátil comíndice de Conley-Zehnder 2 ou Mé folheada por discos transversais ao campo de Reeb. Nesteúltimo caso, Mé difeomorfa a um toro sólido e existe umaórbita fechada não-contrátil em M queé ponto fixo da aplicação de retorno induzida pela folheação. In this work, we study the Reeb dynamics associated to a tight contact form λ defined on a compact, connected 3-manifold M which satisfies c 1 π 2 (M ) (ξ = ker λ) ≡ 0. In our first result, we assume that M is closed and there exis...

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Holomorphic Curves in Symplectic Cobordisms

Wendl

2018

Lecture Notes in Mathematics

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A Poincaré–Birkhoff theorem for tight Reeb flows on $$S^3$$ S 3

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